미적분 예제

$f (x) = \ln (\frac{x^{5} - 12}{x})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{x^{5} - 12}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x^{5} - 12}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x^{5} - 12}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\frac{x^{5} - 12}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

단계 2

$\frac{x^{5} - 12}{x}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

단계 3

$\frac{x}{x^{5} - 12}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

단계 4

$f (x) = x^{5} - 12$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{5} - 12] - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

합의 법칙에 의해 $x^{5} - 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 가 됩니다.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.3

$- 12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 12$ 입니다.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + 0) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.4

$5 x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 (x^{1} x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{1 + 4} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 8

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 10

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$

단계 10.2

$\frac{x}{x^{5} - 12}$ 에 $\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{(x^{5} - 12) x^{2}}$

단계 11

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$(x^{5} - 12) x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

단계 11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

단계 11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{(x^{5} - 12) x}$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{(x^{5} - 12) x}$

단계 12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{x^{5} x - 12 x}$

단계 12.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

$- 1$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x^{5} - x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

단계 12.3.2

$5 x^{5}$ 에서 $x^{5}$ 을 뺍니다.

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

단계 12.4

지수를 더하여 $x^{5}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.1

$x^{5}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x^{1} - 12 x}$

단계 12.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5 + 1} - 12 x}$

단계 12.4.2

$5$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{6} - 12 x}$

단계 12.5

$4 x^{5} + 12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

$4 x^{5}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x^{5}) + 12}{x^{6} - 12 x}$

단계 12.5.2

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot 3}{x^{6} - 12 x}$

단계 12.5.3

$4 x^{5} + 4 \cdot 3$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x^{6} - 12 x}$

단계 12.6

$x^{6} - 12 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.6.1

$x^{6}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} - 12 x}$

단계 12.6.2

$- 12 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} + x \cdot - 12}$

단계 12.6.3

$x \cdot x^{5} + x \cdot - 12$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x (x^{5} - 12)}$