미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (2 x)}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

단계 1.1.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1.1

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

단계 1.1.3.1.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

단계 1.1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

단계 1.1.3.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.3.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{\sin (0)}$

단계 1.1.3.3.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 1.3.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 1.3.3.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 1.3.3.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 1.3.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

단계 1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

단계 1.3.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

단계 1.3.7

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x)}$

단계 2.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

단계 2.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

단계 2.4

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

단계 2.5

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

단계 3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$ 을 $\sec (2 \cdot 0)$ 로 변환합니다.

$\frac{1}{2} \sec (2 \cdot 0)$

단계 4.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \sec (0)$

단계 4.3

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

단계 4.4

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{2}$

소수 형태:

$0.5$