미적분 예제

$f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

단계 1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- \frac{x^{2}}{2}$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $- \frac{x^{2}}{2}$ 로 바꿉니다.

$x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x^{2}}{2}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

분수를 통분합니다.

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단계 3.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2.2

$x$ 와 $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4

분수를 통분합니다.

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단계 3.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4.2

$- 2$ 와 $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4.3

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}}) x}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 7

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 7.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1

$- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 (1)} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.2.2.4

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1$

단계 9

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$