미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 6} - \sqrt{6}}{x}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 6} - \sqrt{6}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.1.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 6} - lim_{x \to 0} \sqrt{6}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.1.2

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 6} - lim_{x \to 0} \sqrt{6}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.1.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6} - lim_{x \to 0} \sqrt{6}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.1.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $6$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 6} - lim_{x \to 0} \sqrt{6}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.1.5

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $\sqrt{6}$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 6} - \sqrt{6}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{0 + 6} - \sqrt{6}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$0$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{6}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3.2

$\sqrt{6}$ 에서 $\sqrt{6}$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 6} - \sqrt{6}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 6} - \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 6} - \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $\sqrt{x + 6} - \sqrt{6}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 6}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 6}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 6}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 6}$ 을(를) ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 6$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 6] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 6] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.2.3

$u$ 를 모두 $x + 6$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 6] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.3

합의 법칙에 의해 $x + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [6]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.5

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.11

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 6)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.12

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.13

$\frac{{(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4

$- \sqrt{6}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- \sqrt{6}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sqrt{6}$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.5

$\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

단계 1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

단계 1.5

${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{x + 6}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 6}} \cdot 1$

단계 1.6

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 6}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 6}}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 6}}$

단계 2.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 6}}$

단계 2.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 6}}$

단계 2.4

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 6}}$

단계 2.5

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6}}$

단계 2.6

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $6$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 6}}$

단계 3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 6}}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$0$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}}$

단계 4.2

$\frac{1}{\sqrt{6}}$ 에 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

단계 4.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$\frac{1}{\sqrt{6}}$ 에 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

단계 4.3.2

$\sqrt{6}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

단계 4.3.3

$\sqrt{6}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

단계 4.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

단계 4.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

단계 4.3.6

${\sqrt{6}}^{2}$ 을 $6$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{6}$ 을(를) $6^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6^{1}}$

단계 4.3.6.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6}$

단계 4.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6}$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

단계 4.4.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{6}}{12}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{\sqrt{6}}{12}$

소수 형태:

$0.20412414 \dots$