미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{{(6 x - 5)}^{9}}$

단계 1

$f (x) = x$ , $g (x) = {(6 x - 5)}^{9}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{({(6 x - 5)}^{9})}^{2}}$

단계 2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

${({(6 x - 5)}^{9})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{(6 x - 5)}^{9 \cdot 2}}$

단계 2.1.2

$9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{(6 x - 5)}^{18}}$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{(6 x - 5)}^{18}}$

단계 2.3

${(6 x - 5)}^{9}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{(6 x - 5)}^{18}}$

단계 3

$f (x) = x^{9}$ , $g (x) = 6 x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $6 x - 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - x (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

단계 3.2

$n = 9$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - x (9 u^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $6 x - 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - x (9 {(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

단계 4

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - 9 x ({(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

단계 4.2

${(6 x - 5)}^{9} - 9 x ({(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])$ 에서 ${(6 x - 5)}^{8}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.2.1

${(6 x - 5)}^{9}$ 에서 ${(6 x - 5)}^{8}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5) - 9 x ({(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

단계 4.2.2

$- 9 x ({(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])$ 에서 ${(6 x - 5)}^{8}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5) + {(6 x - 5)}^{8} (- 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))}{{(6 x - 5)}^{18}}$

단계 4.2.3

${(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5) + {(6 x - 5)}^{8} (- 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))$ 에서 ${(6 x - 5)}^{8}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))}{{(6 x - 5)}^{18}}$

단계 5

공약수로 약분합니다.

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단계 5.1

${(6 x - 5)}^{18}$ 에서 ${(6 x - 5)}^{8}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))}{{(6 x - 5)}^{8} {(6 x - 5)}^{10}}$

단계 5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))}{{(6 x - 5)}^{8} {(6 x - 5)}^{10}}$

단계 5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

단계 6

합의 법칙에 의해 $6 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

단계 7

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{6 x - 5 - 9 x (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

단계 8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{6 x - 5 - 9 x (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

단계 9

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x - 5 - 9 x (6 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

단계 10

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$\frac{6 x - 5 - 9 x (6 + 0)}{{(6 x - 5)}^{10}}$

단계 11

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{6 x - 5 - 9 x \cdot 6}{{(6 x - 5)}^{10}}$

단계 11.2

$6$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x - 5 - 54 x}{{(6 x - 5)}^{10}}$

단계 11.3

$6 x$ 에서 $54 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 48 x - 5}{{(6 x - 5)}^{10}}$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$- 48 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (48 x) - 5}{{(6 x - 5)}^{10}}$

단계 12.2

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (48 x) - 1 (5)}{{(6 x - 5)}^{10}}$

단계 12.3

$- (48 x) - 1 (5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (48 x + 5)}{{(6 x - 5)}^{10}}$

단계 12.4

$- (48 x + 5)$ 을 $- 1 (48 x + 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (48 x + 5)}{{(6 x - 5)}^{10}}$

단계 12.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{48 x + 5}{{(6 x - 5)}^{10}}$