미적분 예제

$f (x) = e^{\log (\sin (3 x))}$

단계 1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \log (\sin (3 x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\log (\sin (3 x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\log (\sin (3 x))$ 로 바꿉니다.

$e^{\log (\sin (3 x))} \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

단계 2

$f (x) = \log (x)$ , $g (x) = \sin (3 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (3 x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

단계 2.2

$\log (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ 입니다.

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (3 x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{1}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

단계 3

$\frac{1}{\sin (3 x) \ln (10)}$ 와 $e^{\log (\sin (3 x))}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 4

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 4.2

$\sin (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{3})$ 입니다.

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 4.3

$u_{3}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$\cos (3 x)$ 와 $\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 5.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (3 \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.3

$3$ 와 $\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 (\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))})}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \cdot 1$

단계 5.5

$\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))} \cos (3 x)}{\sin (3 x) \ln (10)}$

단계 6.2

분수를 나눕니다.

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

단계 6.3

$\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ 을 $\cot (3 x)$ 로 변환합니다.

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)} \cot (3 x)$

단계 6.4

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)}$ 와 $\cot (3 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))} \cot (3 x)}{\ln (10)}$