미적분 예제

$f (x) = e^{\log (e^{5 x})}$

단계 1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \log (e^{5 x})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\log (e^{5 x})$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\log (e^{5 x})]$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\log (e^{5 x})]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\log (e^{5 x})$ 로 바꿉니다.

$e^{\log (e^{5 x})} \frac{d}{d x} [\log (e^{5 x})]$

단계 2

$f (x) = \log (x)$ , $g (x) = e^{5 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $e^{5 x}$ 로 바꿉니다.

$e^{\log (e^{5 x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

단계 2.2

$\log (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ 입니다.

$e^{\log (e^{5 x})} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $e^{5 x}$ 로 바꿉니다.

$e^{\log (e^{5 x})} (\frac{1}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

단계 3

항을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{e^{5 x} \ln (10)}$ 와 $e^{\log (e^{5 x})}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

단계 3.2

$e^{\log (e^{5 x})}$ 및 $e^{5 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

$e^{\log (e^{5 x})}$ 에서 $e^{5 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

단계 3.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.2.1

$e^{5 x} \ln (10)$ 에서 $e^{5 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{e^{5 x} (\ln (10))} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

단계 3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

단계 3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

단계 4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 은 $a^{u_{3}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 4.3

$u_{3}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 5

$e^{5 x}$ 와 $\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 6

지수를 더하여 $e^{5 x}$ 에 $e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}$ 을 곱합니다.

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단계 6.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{e^{5 x + \log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 6.2

$5 x + \log (e^{5 x}) - 5 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 6.2.1

$5 x$ 에서 $5 x$ 을 뺍니다.

$\frac{e^{0 + \log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 6.2.2

$0$ 를 $\log (e^{5 x})$ 에 더합니다.

$\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 7

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} (5 \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

$5$ 와 $\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

단계 9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \cdot 1$

단계 10

$\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)}$