미적분 예제

$f (x) = \frac{t - 5}{t^{2} + 10 t + 25}$

단계 1

$f (t) = t - 5$ , $g (t) = t^{2} + 10 t + 25$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) \frac{d}{d t} [t - 5] - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $t - 5$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (1 + \frac{d}{d t} [- 5]) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 2.3

$- 5$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (1 + 0) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) \cdot 1 - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 2.4.2

$t^{2} + 10 t + 25$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $t^{2} + 10 t + 25$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25]$ 가 됩니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 2.7

$10$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $10 t$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 2.9

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 2.10

$25$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $25$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $25$ 입니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 + 0)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 2.11

$2 t + 10$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 + (- t - - 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 + (- t + 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- t + 5) (2 t + 10)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t + 10) + 5 (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t) - t \cdot 10 + 5 (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t) - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 t \cdot t - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.2

지수를 더하여 $t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.1.2.1

$t$ 를 옮깁니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 (t \cdot t) - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.2.2

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 t^{2} - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.4

$10$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.5

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 10 t + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.6

$5$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 10 t + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.2

$- 10 t$ 를 $10 t$ 에 더합니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} + 0 + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.3

$- 2 t^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.2.2

$t^{2}$ 에서 $2 t^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- t^{2} + 10 t + 25 + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.2.3

$25$ 를 $50$ 에 더합니다.

$\frac{- t^{2} + 10 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 75 = - 75$ 이고 합이 $b = 10$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$10 t$ 에서 $10$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- t^{2} + 10 (t) + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

$10$ 를 $- 5$ + $15$ 로 다시 씁니다.

$\frac{- t^{2} + (- 5 + 15) t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- t^{2} - 5 t + 15 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(- t^{2} - 5 t) + 15 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.3.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{t (- t - 5) - 15 (- t - 5)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.3.3

최대공약수 $- t - 5$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

단계 3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 10 t + 5^{2})}^{2}}$

단계 3.4.1.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$10 t = 2 \cdot t \cdot 5$

단계 3.4.1.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 2 \cdot t \cdot 5 + 5^{2})}^{2}}$

단계 3.4.1.4

$a = t$ 이고 $b = 5$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{({(t + 5)}^{2})}^{2}}$

단계 3.4.2

${({(t + 5)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{2 \cdot 2}}$

단계 3.4.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

단계 3.4.3

이항정리 이용

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 4 t^{3} \cdot 5 + 6 t^{2} \cdot 5^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

단계 3.4.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 6 t^{2} \cdot 5^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

단계 3.4.4.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 6 t^{2} \cdot 25 + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

단계 3.4.4.3

$25$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

단계 3.4.4.4

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 4 t \cdot 125 + 5^{4}}$

단계 3.4.4.5

$125$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 500 t + 5^{4}}$

단계 3.4.4.6

$5$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 500 t + 625}$

단계 3.4.5

각 항을 이항정리 공식의 항과 열결시킵니다.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 4 \cdot 5 t^{3} + 6 \cdot 5^{2} t^{2} + 4 \cdot 5^{3} t + 5^{4}}$

단계 3.4.6

이항정리를 사용해 $t^{4} + 4 \cdot 5 t^{3} + 6 \cdot 5^{2} t^{2} + 4 \cdot 5^{3} t + 5^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

단계 3.5

$- t - 5$ 및 ${(t + 5)}^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- t$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- (t) - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

단계 3.5.2

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(- (t) - 1 (5)) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

단계 3.5.3

$- (t) - 1 (5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (t + 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

단계 3.5.4

$- (t + 5)$ 을 $- 1 (t + 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (t + 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

단계 3.5.5

$- 1 (t + 5) (t - 15)$ 에서 $t + 5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{{(t + 5)}^{4}}$

단계 3.5.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.6.1

${(t + 5)}^{4}$ 에서 $t + 5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

단계 3.5.6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

단계 3.5.6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1 (t - 15)}{{(t + 5)}^{3}}$

단계 3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{t - 15}{{(t + 5)}^{3}}$