미적분 예제

$g (x) = \ln (e^{x} + \ln (x))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = e^{x} + \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $e^{x} + \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $e^{x} + \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $e^{x} + \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 4

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(e^{x} + \frac{1}{x}) \frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$

단계 5.2

$e^{x} + \frac{1}{x}$ 에 $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

단계 5.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x$ .

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단계 5.3.1

$\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x} \cdot \frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

단계 5.3.2

조합합니다.

$\frac{x (e^{x} + \frac{1}{x})}{x (e^{x} + \ln (x))}$

단계 5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

단계 5.5

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

단계 5.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x e^{x} + 1}{x e^{x} + x \ln (x)}$

단계 5.6

$x e^{x} + x \ln (x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.6.1

$x e^{x}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x \ln (x)}$

단계 5.6.2

$x \ln (x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x (\ln (x))}$

단계 5.6.3

$x (e^{x}) + x (\ln (x))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x} + \ln (x))}$