미적분 예제

$g (t) = {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{9}$

단계 1

$f (t) = t^{9}$ , $g (t) = \frac{t - 2}{2 t + 1}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{t - 2}{2 t + 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [\frac{t - 2}{2 t + 1}]$

단계 1.2

$n = 9$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 u^{8} \frac{d}{d t} [\frac{t - 2}{2 t + 1}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{t - 2}{2 t + 1}$ 로 바꿉니다.

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{d}{d t} [\frac{t - 2}{2 t + 1}]$

단계 2

$f (t) = t - 2$ , $g (t) = 2 t + 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) \frac{d}{d t} [t - 2] - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $t - 2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ 가 됩니다.

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

단계 3.3

$- 2$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) (1 + 0) - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) \cdot 1 - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

단계 3.4.2

$2 t + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

단계 3.5

합의 법칙에 의해 $2 t + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

단계 3.6

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

단계 3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

단계 3.8

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

단계 3.9

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 + 0)}{{(2 t + 1)}^{2}}$

단계 3.10

분수를 통분합니다.

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단계 3.10.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) \cdot 2}{{(2 t + 1)}^{2}}$

단계 3.10.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - 2 (t - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}}$

단계 3.10.3

$\frac{2 t + 1 - 2 (t - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}}$ 와 $9$ 을 묶습니다.

$\frac{(2 t + 1 - 2 (t - 2)) \cdot 9}{{(2 t + 1)}^{2}} {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8}$

단계 3.10.4

$2 t + 1 - 2 (t - 2)$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$\frac{9 \cdot (2 t + 1 - 2 (t - 2))}{{(2 t + 1)}^{2}} {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{t - 2}{2 t + 1}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 (2 t + 1 - 2 (t - 2))}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 (2 t + 1 - 2 t - 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 (2 t) + 9 \cdot 1 + 9 (- 2 t) + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

단계 4.4

항을 묶습니다.

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단계 4.4.1

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{18 t + 9 \cdot 1 + 9 (- 2 t) + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

단계 4.4.2

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{18 t + 9 + 9 (- 2 t) + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

단계 4.4.3

$- 2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{18 t + 9 - 18 t + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

단계 4.4.4

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{18 t + 9 - 18 t + 9 \cdot 4}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

단계 4.4.5

$9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{18 t + 9 - 18 t + 36}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

단계 4.4.6

$18 t$ 에서 $18 t$ 을 뺍니다.

$\frac{0 + 9 + 36}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

단계 4.4.7

$0$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{9 + 36}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

단계 4.4.8

$9$ 를 $36$ 에 더합니다.

$\frac{45}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

단계 4.4.9

$\frac{45}{{(2 t + 1)}^{2}}$ 에 $\frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$ 을 곱합니다.

$\frac{45 {(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{2} {(2 t + 1)}^{8}}$

단계 4.4.10

지수를 더하여 ${(2 t + 1)}^{2}$ 에 ${(2 t + 1)}^{8}$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.10.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{45 {(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{2 + 8}}$

단계 4.4.10.2

$2$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{45 {(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{10}}$