미적분 예제

$g (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 5}$

단계 1

$f (x) = {(x - 1)}^{2}$ , $g (x) = x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 5) (2 u \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{(x - 5) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x - 5$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 3.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 3.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 3.6

합의 법칙에 의해 $x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 3.8

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 3.9

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 3.9.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x - 10) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 x - 10) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x (x - 1) - 10 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 10 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.3.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.3.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.3.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.3.1.3

$- 10$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 10 x + 10 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.3.2

$- 2 x$ 에서 $10 x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.4

${(x - 1)}^{2}$ 을 $(x - 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - ((x - 1) (x - 1))}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x (x - 1) - 1 (x - 1))}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.6.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.6.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.6.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.6.1.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.6.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - x - x + 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.6.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.8.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.1.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 12 x + 10 + 2 x - 1}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.3

$- 12 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - 10 x + 10 - 1}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.2.4

$10$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 10 x + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 4.3

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 10 x + 9$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $9$ 이고 합은 $- 10$ 입니다.

$- 9, - 1$

단계 4.3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$