미적분 예제

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x$

단계 1

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{3}} d x$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$x^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{3})}^{- 1} d x$

단계 2.2

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{3 \cdot - 1} d x$

단계 2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 3} d x$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 가 됩니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{t}$

단계 4

대입하여 간단히 합니다.

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단계 4.1

$t$ , $1$ 일 때, $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} t^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$t^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

단계 4.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $t^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

단계 4.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1$

단계 4.2.4

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

단계 5.1.2

$\frac{1}{2}$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

단계 5.2

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{t^{2}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

단계 5.3

극한값을 계산합니다.

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단계 5.3.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $\frac{1}{2}$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}$

단계 5.3.2

답을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$- \frac{1}{2} \cdot 0$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.2.1.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}$

단계 5.3.2.1.2

$0$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{1}{2}$

단계 5.3.2.2

$0$ 를 $\frac{1}{2}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{2}$

소수 형태:

$0.5$