미적분 예제

$\frac{1}{\sqrt{2 a x}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 a x}$ 을(를) ${(2 a x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{{(2 a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.2

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.1

$2 a x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{{(2 (a x))}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.2.2

$2 (a x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.3

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ 은 $a$ 에 대해 일정하므로 $a$ 에 대한 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.4.1

$\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

단계 1.4.2

${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

단계 1.4.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

단계 1.4.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{- \frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (a) = a^{- \frac{1}{2}}$ , $g (a) = a x$ 일 때 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 는 $f' (g (a)) g' (a)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $a x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d a} [a x])$

단계 2.2

$n = - \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [a x])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $a x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [a x])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

단계 6.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

단계 8

${(a x)}^{- \frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{{(a x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d a} [a x])$

단계 9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(a x)}^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x])$

단계 10

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} (2 {(a x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d a} [a x]$

단계 11

지수를 더하여 $2^{\frac{1}{2}}$ 에 $2$ 을 곱합니다.

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단계 11.1

$2$ 를 옮깁니다.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

단계 11.2

$2$ 에 $2^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 11.2.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

단계 11.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{2^{1 + \frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

단계 11.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

단계 11.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{2^{\frac{2 + 1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

단계 11.5

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

단계 12

$x$ 은 $a$ 에 대해 일정하므로 $a$ 에 대한 $a x$ 의 미분은 $x \frac{d}{d a} [a]$ 입니다.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} (x \frac{d}{d a} [a])$

단계 13

$x$ 와 $\frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a]$

단계 14

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 는 $n a^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

단계 15

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

$a x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} (a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})}$

단계 16.2

항을 묶습니다.

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단계 16.2.1

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{1}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}$

단계 16.2.2

지수를 더하여 $x^{\frac{3}{2}}$ 에 $x^{- 1}$ 을 곱합니다.

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단계 16.2.2.1

$x^{- 1}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}$

단계 16.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{- 1 + \frac{3}{2}}}$

단계 16.2.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

단계 16.2.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

단계 16.2.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}$

단계 16.2.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 16.2.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}$

단계 16.2.2.6.2

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$