미적분 예제

$\log_{b} (18)$

단계 1

밑변환 공식을 이용하여 $\log_{b} (18)$ 을 다시 씁니다.

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단계 1.1

The change of base rule can be used if $a$ and $b$ are greater than 0 and not equal to 1, and $x$ is greater than 0.

$\frac{d}{d b} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

단계 1.2

$b = e$ 을 이용하여 밑변환 공식에 변수 값을 대입합니다.

$\frac{d}{d b} [\frac{\ln (18)}{\ln (b)}]$

단계 2

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$\ln (18)$ 은 $b$ 에 대해 일정하므로 $b$ 에 대한 $\frac{\ln (18)}{\ln (b)}$ 의 미분은 $\ln (18) \frac{d}{d b} [\frac{1}{\ln (b)}]$ 입니다.

$\ln (18) \frac{d}{d b} [\frac{1}{\ln (b)}]$

단계 2.2

$\frac{1}{\ln (b)}$ 을 $\ln^{- 1} (b)$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (18) \frac{d}{d b} [\ln^{- 1} (b)]$

단계 3

$f (b) = b^{- 1}$ , $g (b) = \ln (b)$ 일 때 $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ 는 $f' (g (b)) g' (b)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\ln (b)$ 로 바꿉니다.

$\ln (18) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d b} [\ln (b)])$

단계 3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\ln (18) (- u^{- 2} \frac{d}{d b} [\ln (b)])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $\ln (b)$ 로 바꿉니다.

$\ln (18) (- \ln^{- 2} (b) \frac{d}{d b} [\ln (b)])$

단계 4

$\ln (b)$ 를 $b$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{b}$ 입니다.

$\ln (18) (- \ln^{- 2} (b) \frac{1}{b})$

단계 5

분수를 통분합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{b}$ 와 $\ln^{- 2} (b)$ 을 묶습니다.

$\ln (18) (- \frac{\ln^{- 2} (b)}{b})$

단계 5.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $\ln^{- 2} (b)$ 를 분모로 이동합니다.

$\ln (18) (- \frac{1}{b \ln^{2} (b)})$

단계 5.3

$\ln (18)$ 와 $\frac{1}{b \ln^{2} (b)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\ln (18)}{b \ln^{2} (b)}$