미적분 예제

$(- 3 k) {(\frac{- 2 k^{- 5}}{k^{3}})}^{- 4}$

단계 1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $k^{- 5}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{3} k^{5}})}^{- 4}]$

단계 2

지수를 더하여 $k^{3}$ 에 $k^{5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{3 + 5}})}^{- 4}]$

단계 2.2

$3$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{8}})}^{- 4}]$

단계 3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(- \frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

단계 4

$- \frac{2}{k^{8}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(- (\frac{2}{k^{8}}))}^{- 4}]$

단계 5

$- (\frac{2}{k^{8}})$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d k} [- 3 k ({(- 1)}^{- 4} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

단계 6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{{(- 1)}^{4}} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

단계 7

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{1} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

단계 7.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{1} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

단계 7.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d k} [- 3 k (1 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

단계 7.2.2

${(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

단계 7.3

$- 3$ 은 $k$ 에 대해 일정하므로 $k$ 에 대한 $- 3 k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d k} [k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$ 입니다.

$- 3 \frac{d}{d k} [k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

단계 8

$f (k) = k$ , $g (k) = {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ 일 때 $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ 는 $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (k \frac{d}{d k} [{(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}] + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

단계 9

$f (k) = k^{- 4}$ , $g (k) = \frac{2}{k^{8}}$ 일 때 $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ 는 $f' (g (k)) g' (k)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{2}{k^{8}}$ 로 바꿉니다.

$- 3 (k (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

단계 9.2

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (k (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

단계 9.3

$u$ 를 모두 $\frac{2}{k^{8}}$ 로 바꿉니다.

$- 3 (k (- 4 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

단계 10

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$2$ 은 $k$ 에 대해 일정하므로 $k$ 에 대한 $\frac{2}{k^{8}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}]$ 입니다.

$- 3 (k (- 4 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} (2 \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}])) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

단계 10.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

단계 10.2.2

$\frac{1}{k^{8}}$ 을 ${(k^{8})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [{(k^{8})}^{- 1}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

단계 10.2.3

${(k^{8})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [k^{8 \cdot - 1}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

단계 10.2.3.2

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [k^{- 8}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

단계 10.3

$n = - 8$ 일 때 $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ 는 $n k^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} (- 8 k^{- 9})) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

단계 10.4

$- 8$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$- 3 (k (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} k^{- 9}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

단계 11

$k$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 3 (k^{- 9} k^{1} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

단계 12

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 3 (k^{- 9 + 1} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

단계 13

$- 9$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

단계 14

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ 는 $n k^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \cdot 1)$

단계 15

${(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

단계 16

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

단계 16.2

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{k^{8}}{2})}^{5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

단계 16.3

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{k^{8}}{2})}^{5}) + {(\frac{k^{8}}{2})}^{4})$

단계 16.4

$\frac{k^{8}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}}) + {(\frac{k^{8}}{2})}^{4})$

단계 16.5

$\frac{k^{8}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}}) + \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}})$

단계 16.6

분배 법칙을 적용합니다.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.7.1

${(k^{8})}^{5}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.7.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{8 \cdot 5}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7.1.2

$8$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{40}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7.2

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{40}}{32})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7.3

$64$ 와 $\frac{k^{40}}{32}$ 을 묶습니다.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{64 k^{40}}{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7.4

$64$ 및 $32$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.7.4.1

$64 k^{40}$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.7.4.2.1

$32$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32 (1)}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32 \cdot 1}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{2 k^{40}}{1}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7.4.2.4

$2 k^{40}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (2 k^{40})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7.5

$2$ 와 $\frac{1}{k^{8}}$ 을 묶습니다.

$- 3 (\frac{2}{k^{8}} k^{40}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7.6

$\frac{2}{k^{8}}$ 와 $k^{40}$ 을 묶습니다.

$- 3 \frac{2 k^{40}}{k^{8}} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7.7

$k^{40}$ 및 $k^{8}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.7.7.1

$2 k^{40}$ 에서 $k^{8}$ 를 인수분해합니다.

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8}} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.7.7.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8} \cdot 1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8} \cdot 1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 3 \frac{2 k^{32}}{1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7.7.2.4

$2 k^{32}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 3 (2 k^{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7.8

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 6 k^{32} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

단계 16.7.9

${(k^{8})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.7.9.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{8 \cdot 4}}{2^{4}}$

단계 16.7.9.2

$8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{32}}{2^{4}}$

단계 16.7.10

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{32}}{16}$

단계 16.7.11

$- 3$ 와 $\frac{k^{32}}{16}$ 을 묶습니다.

$- 6 k^{32} + \frac{- 3 k^{32}}{16}$

단계 16.7.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 6 k^{32} - \frac{3 k^{32}}{16}$

단계 16.7.13

공통 분모를 가지는 분수로 $- 6 k^{32}$ 을 표현하기 위해 $\frac{16}{16}$ 을 곱합니다.

$- 6 k^{32} \cdot \frac{16}{16} - \frac{3 k^{32}}{16}$

단계 16.7.14

$- 6 k^{32}$ 와 $\frac{16}{16}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 6 k^{32} \cdot 16}{16} - \frac{3 k^{32}}{16}$

단계 16.7.15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 6 k^{32} \cdot 16 - 3 k^{32}}{16}$

단계 16.7.16

$16$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{- 96 k^{32} - 3 k^{32}}{16}$

단계 16.7.17

$- 96 k^{32}$ 에서 $3 k^{32}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 99 k^{32}}{16}$

단계 16.7.18

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{99 k^{32}}{16}$