미적분 예제

$lim_{x \to \infty} x^{5} e^{- x^{4}}$

단계 1

$x^{5} e^{- x^{4}}$ 을 $\frac{x^{5}}{e^{x^{4}}}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x^{4}}}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

단계 2.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

단계 2.1.3

지수 $x^{4}$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x^{4}}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 2.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 2.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x^{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

단계 2.3.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

단계 2.3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

단계 2.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

단계 2.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

단계 2.3.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x^{4}} (4 x^{3})}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

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단계 2.3.5.1

$e^{x^{4}} (4 x^{3})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 e^{x^{4}} x^{3}}$

단계 2.3.5.2

$4 e^{x^{4}} x^{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

단계 2.4

$x^{4}$ 및 $x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.4.1

$5 x^{4}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

단계 2.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.4.2.1

$4 x^{3} e^{x^{4}}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} (4 e^{x^{4}})}$

단계 2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} (4 e^{x^{4}})}$

단계 2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{4 e^{x^{4}}}$

단계 3

$\frac{5}{4}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{4}}}$

단계 4

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

단계 4.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

단계 4.1.3

지수 $x^{4}$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x^{4}}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

단계 4.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

단계 4.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

단계 4.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 4.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

단계 4.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

단계 4.3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

단계 4.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

단계 4.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

단계 4.3.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{4}} \cdot 4 x^{3}}$

단계 4.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$e^{x^{4}} (4 x^{3})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 e^{x^{4}} x^{3}}$

단계 4.3.5.2

$4 e^{x^{4}} x^{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

단계 5

$\frac{1}{4}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3} e^{x^{4}}}$

단계 6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x^{3} e^{x^{4}}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

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단계 7.1.1

$\frac{5}{4}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{4 \cdot 4} \cdot 0$

단계 7.1.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{16} \cdot 0$

단계 7.2

$\frac{5}{16}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$