미적분 예제

$- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})$

단계 1

합의 법칙에 의해 $- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})$ 를 $p$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d p} [- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})] + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d p} [- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})] + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2

$\frac{d}{d p} [- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$- \frac{3}{4}$ 은 $p$ 에 대해 일정하므로 $p$ 에 대한 $- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})$ 의 미분은 $- \frac{3}{4} \frac{d}{d p} [\log_{3} (16 p^{4})]$ 입니다.

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d p} [\log_{3} (16 p^{4})] + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.2

$f (p) = \log_{3} (p)$ , $g (p) = 16 p^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ 는 $f' (g (p)) g' (p)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $16 p^{4}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{3}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [\log_{3} (u_{1})] \frac{d}{d p} [16 p^{4}]) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.2.2

$\log_{3} (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1} \ln (3)}$ 입니다.

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{u_{1} \ln (3)} \frac{d}{d p} [16 p^{4}]) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $16 p^{4}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} \frac{d}{d p} [16 p^{4}]) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.3

$16$ 은 $p$ 에 대해 일정하므로 $p$ 에 대한 $16 p^{4}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d p} [p^{4}]$ 입니다.

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} (16 \frac{d}{d p} [p^{4}])) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 는 $n p^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} (16 (4 p^{3}))) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.5

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} (64 p^{3})) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.6

$64$ 와 $\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{4} (\frac{64}{16 p^{4} \ln (3)} p^{3}) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.7

$\frac{64}{16 p^{4} \ln (3)}$ 와 $p^{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{64 p^{3}}{16 p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.8

$64$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

$64 p^{3}$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{16 (4 p^{3})}{16 p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.1

$16 p^{4} \ln (3)$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{16 (4 p^{3})}{16 (p^{4} \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{16 (4 p^{3})}{16 (p^{4} \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{4 p^{3}}{p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.9

$p^{3}$ 및 $p^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1

$4 p^{3}$ 에서 $p^{3}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{p^{3} \cdot 4}{p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.2.1

$p^{4} \ln (3)$ 에서 $p^{3}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{p^{3} \cdot 4}{p^{3} (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{p^{3} \cdot 4}{p^{3} (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{p \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.10

$\frac{4}{p \ln (3)}$ 에 $\frac{3}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 \cdot 3}{p \ln (3) \cdot 4} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.11

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{12}{p \ln (3) \cdot 4} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.12

$p \ln (3)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$- \frac{12}{4 \cdot (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.13

$12$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4 \cdot 3}{4 p \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.2.1

$4 p \ln (3)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4 \cdot 3}{4 (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{4 \cdot 3}{4 (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 2.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

단계 3

$\frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- \frac{2}{3}$ 은 $p$ 에 대해 일정하므로 $p$ 에 대한 $- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})$ 의 미분은 $- \frac{2}{3} \frac{d}{d p} [\log_{3} (8 p^{3})]$ 입니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \frac{d}{d p} [\log_{3} (8 p^{3})]$

단계 3.2

$f (p) = \log_{3} (p)$ , $g (p) = 8 p^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ 는 $f' (g (p)) g' (p)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $8 p^{3}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\log_{3} (u_{2})] \frac{d}{d p} [8 p^{3}])$

단계 3.2.2

$\log_{3} (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2} \ln (3)}$ 입니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{u_{2} \ln (3)} \frac{d}{d p} [8 p^{3}])$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $8 p^{3}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} \frac{d}{d p} [8 p^{3}])$

단계 3.3

$8$ 은 $p$ 에 대해 일정하므로 $p$ 에 대한 $8 p^{3}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d p} [p^{3}]$ 입니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} (8 \frac{d}{d p} [p^{3}]))$

단계 3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 는 $n p^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} (8 (3 p^{2})))$

단계 3.5

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} (24 p^{2}))$

단계 3.6

$24$ 와 $\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{24}{8 p^{3} \ln (3)} p^{2})$

단계 3.7

$\frac{24}{8 p^{3} \ln (3)}$ 와 $p^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{24 p^{2}}{8 p^{3} \ln (3)}$

단계 3.8

$24$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

$24 p^{2}$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8 (3 p^{2})}{8 p^{3} \ln (3)}$

단계 3.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.1

$8 p^{3} \ln (3)$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8 (3 p^{2})}{8 (p^{3} \ln (3))}$

단계 3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8 (3 p^{2})}{8 (p^{3} \ln (3))}$

단계 3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3 p^{2}}{p^{3} \ln (3)}$

단계 3.9

$p^{2}$ 및 $p^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

$3 p^{2}$ 에서 $p^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{p^{2} \cdot 3}{p^{3} \ln (3)}$

단계 3.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.1

$p^{3} \ln (3)$ 에서 $p^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{p^{2} \cdot 3}{p^{2} (p \ln (3))}$

단계 3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{p^{2} \cdot 3}{p^{2} (p \ln (3))}$

단계 3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{p \ln (3)}$

단계 3.10

$\frac{3}{p \ln (3)}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{p \ln (3) \cdot 3}$

단계 3.11

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{6}{p \ln (3) \cdot 3}$

단계 3.12

$p \ln (3)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{6}{3 \cdot (p \ln (3))}$

단계 3.13

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.13.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{3 p \ln (3)}$

단계 3.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.13.2.1

$3 p \ln (3)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{3 (p \ln (3))}$

단계 3.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{3 (p \ln (3))}$

단계 3.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{p \ln (3)}$

단계 4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 3 - 2}{p \ln (3)}$

단계 4.2

$- 3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{- 5}{p \ln (3)}$

단계 4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5}{p \ln (3)}$