미적분 예제

$\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$

단계 1

$r$ 은 $n$ 에 대해 일정하므로 $n$ 에 대한 $\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$ 의 미분은 $r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$ 입니다.

$r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$

단계 2

$f (n) = n$ , $g (n) = 1 + (n - 1) r$ 일 때 $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ 는 $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \frac{d}{d n} [n] - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 는 $n \cdot n^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \cdot 1 - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

단계 3.2

$1 + (n - 1) r$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $1 + (n - 1) r$ 를 $n$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ 가 됩니다.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

단계 3.4

$1$ 이 $n$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $n$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (0 + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

단계 3.5

$0$ 를 $\frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ 에 더합니다.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [(n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

단계 3.6

$r$ 은 $n$ 에 대해 일정하므로 $n$ 에 대한 $(n - 1) r$ 의 미분은 $r \frac{d}{d n} [n - 1]$ 입니다.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r \frac{d}{d n} [n - 1])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $n - 1$ 를 $n$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]$ 가 됩니다.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 는 $n \cdot n^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (1 + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

단계 3.9

$- 1$ 이 $n$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $n$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r (1 + 0)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

단계 3.10

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r \cdot 1}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

단계 3.10.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

단계 3.10.3

$r$ 와 $\frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{r (1 + (n - 1) r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{r (1 + n r - 1 r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

단계 4.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.4.1.1

인수가 항 $r (n r)$ 과(와) $r (- n r)$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{r \cdot 1 + n r \cdot r + r (- 1 r) - n r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

단계 4.4.1.2

$n r \cdot r$ 에서 $n r \cdot r$ 을 뺍니다.

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r) + 0}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

단계 4.4.1.3

$r \cdot 1 + r (- 1 r)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

단계 4.4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.4.2.1

$r$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{r + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

단계 4.4.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{r - r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

단계 4.4.2.3

지수를 더하여 $r$ 에 $r$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.3.1

$r$ 를 옮깁니다.

$\frac{r - (r \cdot r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

단계 4.4.2.3.2

$r$ 에 $r$ 을 곱합니다.

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

단계 4.5

$- 1 r$ 을 $- r$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - r)}^{2}}$

단계 4.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- r^{2} + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

단계 4.7

$- r^{2} + r$ 에서 $r$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.7.1

$- r^{2}$ 에서 $r$ 를 인수분해합니다.

$\frac{r (- r) + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

단계 4.7.2

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{r (- r) + r^{1}}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

단계 4.7.3

$r^{1}$ 에서 $r$ 를 인수분해합니다.

$\frac{r (- r) + r \cdot 1}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

단계 4.7.4

$r (- r) + r \cdot 1$ 에서 $r$ 를 인수분해합니다.

$\frac{r (- r + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

단계 4.8

$- r$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{r (- (r) + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

단계 4.9

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{r (- (r) - 1 (- 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

단계 4.10

$- (r) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{r (- (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

단계 4.11

$- (r - 1)$ 을 $- 1 (r - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{r (- 1 (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

단계 4.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{r (r - 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$