미적분 예제

$y = e^{p} (p + p \sqrt{p})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{p}$ 을(를) $p^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p \cdot p^{\frac{1}{2}})]$

단계 2

지수를 더하여 $p$ 에 $p^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

$p$ 에 $p^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1.1

$p$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{1} p^{\frac{1}{2}})]$

단계 2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{1 + \frac{1}{2}})]$

단계 2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})]$

단계 2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{2 + 1}{2}})]$

단계 2.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{3}{2}})]$

단계 3

$f (p) = e^{p}$ , $g (p) = p + p^{\frac{3}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d p} [f (p) g (p)]$ 는 $f (p) \frac{d}{d p} [g (p)] + g (p) \frac{d}{d p} [f (p)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{p} \frac{d}{d p} [p + p^{\frac{3}{2}}] + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $p + p^{\frac{3}{2}}$ 를 $p$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]$ 가 됩니다.

$e^{p} (\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 는 $n p^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{p} (1 + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

단계 4.3

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 는 $n p^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} - 1}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

단계 6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3 - 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

단계 8.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{1}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

단계 9

$\frac{3}{2}$ 와 $p^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$e^{p} (1 + \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

단계 10

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d p} [a^{p}]$ 은 $a^{p} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{p} (1 + \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) e^{p}$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{p} \cdot 1 + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + (p + p^{\frac{3}{2}}) e^{p}$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{p} \cdot 1 + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

단계 11.3

항을 묶습니다.

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단계 11.3.1

$e^{p}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{p} + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

단계 11.3.2

$e^{p}$ 와 $\frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

단계 11.4

항을 다시 정렬합니다.

$e^{p} p + e^{p} p^{\frac{3}{2}} + e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2}$