미적분 예제

$\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2

$\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$p$ 와 $\frac{4}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4}{3} \cdot {(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.2

$\frac{p \cdot 4}{3}$ 와 ${(r + h)}^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4 {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.3

$p$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot p {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.4

$\frac{4 p}{3}$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $\frac{4 p {(r + h)}^{3}}{3}$ 의 미분은 $\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}]$ 입니다.

$\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.5

$f (r) = r^{3}$ , $g (r) = r + h$ 일 때 $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ 는 $f' (g (r)) g' (r)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $r + h$ 로 바꿉니다.

$\frac{4 p}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.5.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 p}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.5.3

$u$ 를 모두 $r + h$ 로 바꿉니다.

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.6

합의 법칙에 의해 $r + h$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h]$ 가 됩니다.

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.8

$h$ 이 $r$ 에 대해 일정하므로, $h$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $h$ 입니다.

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.9

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.10

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.11

$3$ 와 $\frac{4 p}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 (4 p)}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.12

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{12 p}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.13

$\frac{12 p}{3}$ 와 ${(r + h)}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{12 p {(r + h)}^{2}}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.14

$12$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.1

$12 p {(r + h)}^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.14.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 p {(r + h)}^{2}}{1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 2.14.2.4

$4 p {(r + h)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

단계 3

$\frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$p$ 와 $\frac{4}{3}$ 을 묶습니다.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{p \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

단계 3.2

$r^{3}$ 와 $\frac{p \cdot 4}{3}$ 을 묶습니다.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (p \cdot 4)}{3}]$

단계 3.3

$p$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (4 \cdot p)}{3}]$

단계 3.4

$r^{3}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4 \cdot r^{3} p}{3}]$

단계 3.5

$- \frac{4 p}{3}$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $- \frac{4 r^{3} p}{3}$ 의 미분은 $- \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ 입니다.

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

단계 3.6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} (3 r^{2})$

단계 3.7

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 p {(r + h)}^{2} - 3 \frac{4 p}{3} r^{2}$

단계 3.8

$- 3$ 와 $\frac{4 p}{3}$ 을 묶습니다.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 3 (4 p)}{3} r^{2}$

단계 3.9

$4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p}{3} r^{2}$

단계 3.10

$\frac{- 12 p}{3}$ 와 $r^{2}$ 을 묶습니다.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p r^{2}}{3}$

단계 3.11

$- 12$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.1

$- 12 p r^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3}$

단계 3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 (1)}$

단계 3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 \cdot 1}$

단계 3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 4 p r^{2}}{1}$

단계 3.11.2.4

$- 4 p r^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 p r^{2}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

항을 다시 정렬합니다.

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 r^{2} p$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

${(r + h)}^{2}$ 을 $(r + h) (r + h)$ 로 바꿔 씁니다.

$4 p ((r + h) (r + h)) - 4 r^{2} p$

단계 4.2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(r + h) (r + h)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 p (r (r + h) + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

단계 4.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 p (r \cdot r + r h + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

단계 4.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$4 p (r \cdot r + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

단계 4.2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1.1

$r$ 에 $r$ 을 곱합니다.

$4 p (r^{2} + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

단계 4.2.3.1.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$4 p (r^{2} + r h + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

단계 4.2.3.2

$r h$ 를 $h r$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.2.1

$r$ 와 $h$ 을 다시 정렬합니다.

$4 p (r^{2} + h r + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

단계 4.2.3.2.2

$h r$ 를 $h r$ 에 더합니다.

$4 p (r^{2} + 2 h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

단계 4.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$4 p r^{2} + 4 p (2 h r) + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

단계 4.2.5

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

단계 4.3

$4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

인수가 항 $4 p r^{2}$ 과(와) $- 4 r^{2} p$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$4 r^{2} p + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

단계 4.3.2

$4 r^{2} p$ 에서 $4 r^{2} p$ 을 뺍니다.

$8 p h r + 4 p h^{2} + 0$

단계 4.3.3

$8 p h r + 4 p h^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8 p h r + 4 p h^{2}$