미적분 예제

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}}$

단계 1

$f (s) = s^{5} + 1$ , $g (s) = e^{- s^{5}}$ 일 때 $\frac{d}{d s} [f (s) g (s)]$ 는 $f (s) \frac{d}{d s} [g (s)] + g (s) \frac{d}{d s} [f (s)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(s^{5} + 1) \frac{d}{d s} [e^{- s^{5}}] + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

단계 2

$f (s) = e^{s}$ , $g (s) = - s^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ 는 $f' (g (s)) g' (s)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- s^{5}$ 로 바꿉니다.

$(s^{5} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d s} [- s^{5}]) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(s^{5} + 1) (e^{u} \frac{d}{d s} [- s^{5}]) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $- s^{5}$ 로 바꿉니다.

$(s^{5} + 1) (e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [- s^{5}]) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $s$ 에 대해 일정하므로 $s$ 에 대한 $- s^{5}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d s} [s^{5}]$ 입니다.

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- \frac{d}{d s} [s^{5}]) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

단계 3.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 는 $n s^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- (5 s^{4})) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

단계 3.3

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $s^{5} + 1$ 를 $s$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d s} [s^{5}] + \frac{d}{d s} [1]$ 가 됩니다.

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (\frac{d}{d s} [s^{5}] + \frac{d}{d s} [1])$

단계 3.5

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 는 $n s^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4} + \frac{d}{d s} [1])$

단계 3.6

$1$ 이 $s$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $s$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4} + 0)$

단계 3.7

$5 s^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(s^{5} e^{- s^{5}} + 1 e^{- s^{5}}) (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$s^{5} e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + 1 e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$s^{4 + 5} e^{- s^{5}} \cdot - 5 + 1 e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

단계 4.3.2

$4$ 를 $5$ 에 더합니다.

$s^{9} e^{- s^{5}} \cdot - 5 + 1 e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

단계 4.3.3

$s^{9} e^{- s^{5}}$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$- 5 \cdot (s^{9} e^{- s^{5}}) + 1 e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

단계 4.3.4

$e^{- s^{5}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 5 s^{9} e^{- s^{5}} + e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

단계 4.3.5

$e^{- s^{5}}$ 를 옮깁니다.

$- 5 s^{9} e^{- s^{5}} - 5 s^{4} e^{- s^{5}} + 5 s^{4} e^{- s^{5}}$

단계 4.3.6

$- 5 s^{4} e^{- s^{5}}$ 를 $5 s^{4} e^{- s^{5}}$ 에 더합니다.

$- 5 s^{9} e^{- s^{5}} + 0$

단계 4.3.7

$- 5 s^{9} e^{- s^{5}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 5 s^{9} e^{- s^{5}}$

단계 4.4

$- 5 s^{9} e^{- s^{5}}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 5 e^{- s^{5}} s^{9}$

단계 4.5

$- 5 e^{- s^{5}} s^{9}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 5 s^{9} e^{- s^{5}}$