미적분 예제

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}}$

단계 1

$f (s) = s^{2} + 1$ , $g (s) = e^{- s^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d s} [f (s) g (s)]$ 는 $f (s) \frac{d}{d s} [g (s)] + g (s) \frac{d}{d s} [f (s)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [e^{- s^{2}}] + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

단계 2

$f (s) = e^{s}$ , $g (s) = - s^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ 는 $f' (g (s)) g' (s)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- s^{2}$ 로 바꿉니다.

$(s^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d s} [- s^{2}]) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(s^{2} + 1) (e^{u} \frac{d}{d s} [- s^{2}]) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $- s^{2}$ 로 바꿉니다.

$(s^{2} + 1) (e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [- s^{2}]) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $s$ 에 대해 일정하므로 $s$ 에 대한 $- s^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d s} [s^{2}]$ 입니다.

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- \frac{d}{d s} [s^{2}]) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 는 $n s^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- (2 s)) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

단계 3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $s^{2} + 1$ 를 $s$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [1]$ 가 됩니다.

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [1])$

단계 3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 는 $n s^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s + \frac{d}{d s} [1])$

단계 3.6

$1$ 이 $s$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $s$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s + 0)$

단계 3.7

$2 s$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(s^{2} e^{- s^{2}} + 1 e^{- s^{2}}) (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$s^{2} e^{- s^{2}} (- 2 s) + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$s$ 를 $1$ 승 합니다.

$s^{1} s^{2} e^{- s^{2}} \cdot - 2 + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

단계 4.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$s^{1 + 2} e^{- s^{2}} \cdot - 2 + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

단계 4.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$s^{3} e^{- s^{2}} \cdot - 2 + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

단계 4.3.4

$s^{3} e^{- s^{2}}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$- 2 \cdot (s^{3} e^{- s^{2}}) + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

단계 4.3.5

$e^{- s^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}} + e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

단계 4.3.6

$e^{- s^{2}}$ 를 옮깁니다.

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}} - 2 s e^{- s^{2}} + 2 s e^{- s^{2}}$

단계 4.3.7

$- 2 s e^{- s^{2}}$ 를 $2 s e^{- s^{2}}$ 에 더합니다.

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}} + 0$

단계 4.3.8

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}}$

단계 4.4

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 e^{- s^{2}} s^{3}$

단계 4.5

$- 2 e^{- s^{2}} s^{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}}$