미적분 예제

$g (r) = (8 r^{3} + 7 r + 4) (r^{2} + 3)$

단계 1

$f (r) = 8 r^{3} + 7 r + 4$ , $g (r) = r^{2} + 3$ 일 때 $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ 는 $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(8 r^{3} + 7 r + 4) \frac{d}{d r} [r^{2} + 3] + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $r^{2} + 3$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [3]$ 가 됩니다.

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [3]) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r + \frac{d}{d r} [3]) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

단계 2.3

$3$ 이 $r$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r + 0) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$2 r$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

단계 2.4.2

$8 r^{3} + 7 r + 4$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $8 r^{3} + 7 r + 4$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [8 r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4]$ 가 됩니다.

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (\frac{d}{d r} [8 r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

단계 2.6

$8$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $8 r^{3}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d r} [r^{3}]$ 입니다.

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (8 \frac{d}{d r} [r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

단계 2.7

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (8 (3 r^{2}) + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

단계 2.8

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

단계 2.9

$7$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $7 r$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d r} [r]$ 입니다.

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [4])$

단계 2.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [4])$

단계 2.11

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 + \frac{d}{d r} [4])$

단계 2.12

$4$ 이 $r$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 + 0)$

단계 2.13

$24 r^{2} + 7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 (8 r^{3}) + 2 (7 r) + 2 \cdot 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7)$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (8 r^{3}) r + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7)$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (8 r^{3}) r + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + (r^{2} + 3) (24 r^{2}) + (r^{2} + 3) \cdot 7$

단계 3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (8 r^{3}) r + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + (r^{2} + 3) \cdot 7$

단계 3.5

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (8 r^{3}) r + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

단계 3.6

항을 묶습니다.

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단계 3.6.1

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$16 r^{3} r + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

단계 3.6.2

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$16 (r^{1} r^{3}) + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

단계 3.6.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$16 r^{1 + 3} + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

단계 3.6.4

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$16 r^{4} + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

단계 3.6.5

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$16 r^{4} + 14 r \cdot r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

단계 3.6.6

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$16 r^{4} + 14 (r^{1} r) + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

단계 3.6.7

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$16 r^{4} + 14 (r^{1} r^{1}) + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

단계 3.6.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$16 r^{4} + 14 r^{1 + 1} + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

단계 3.6.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

단계 3.6.10

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

단계 3.6.11

지수를 더하여 $r^{2}$ 에 $r^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.6.11.1

$r^{2}$ 를 옮깁니다.

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + r^{2} r^{2} \cdot 24 + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

단계 3.6.11.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + r^{2 + 2} \cdot 24 + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

단계 3.6.11.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + r^{4} \cdot 24 + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

단계 3.6.12

$r^{4}$ 의 왼쪽으로 $24$ 이동하기

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 24 \cdot r^{4} + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

단계 3.6.13

$24$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 24 r^{4} + 72 r^{2} + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

단계 3.6.14

$r^{2}$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 24 r^{4} + 72 r^{2} + 7 \cdot r^{2} + 3 \cdot 7$

단계 3.6.15

$3$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 24 r^{4} + 72 r^{2} + 7 r^{2} + 21$

단계 3.6.16

$72 r^{2}$ 를 $7 r^{2}$ 에 더합니다.

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 24 r^{4} + 79 r^{2} + 21$

단계 3.6.17

$16 r^{4}$ 를 $24 r^{4}$ 에 더합니다.

$40 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 79 r^{2} + 21$

단계 3.6.18

$14 r^{2}$ 를 $79 r^{2}$ 에 더합니다.

$40 r^{4} + 93 r^{2} + 8 r + 21$