미적분 예제

$\frac{1}{2 s} - \frac{5}{4 s^{3}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2 s} - \frac{5}{4 s^{3}}$ 를 $s$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{4 s^{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{4 s^{3}}]$

단계 2

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $s$ 에 대해 일정하므로 $s$ 에 대한 $\frac{1}{2 s}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{4 s^{3}}]$

단계 2.2

$\frac{1}{s}$ 을 $s^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{4 s^{3}}]$

단계 2.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 는 $n s^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (- s^{- 2}) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{4 s^{3}}]$

단계 2.4

$\frac{1}{2}$ 와 $s^{- 2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{s^{- 2}}{2} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{4 s^{3}}]$

단계 2.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $s^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{4 s^{3}}]$

단계 3

$\frac{d}{d s} [- \frac{5}{4 s^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- \frac{5}{4}$ 은 $s$ 에 대해 일정하므로 $s$ 에 대한 $- \frac{5}{4 s^{3}}$ 의 미분은 $- \frac{5}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}]$ 입니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}]$

단계 3.2

$\frac{1}{s^{3}}$ 을 ${(s^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} \frac{d}{d s} [{(s^{3})}^{- 1}]$

단계 3.3

$f (s) = s^{- 1}$ , $g (s) = s^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ 는 $f' (g (s)) g' (s)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $s^{3}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{3}])$

단계 3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $s^{3}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- {(s^{3})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}])$

단계 3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 는 $n s^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- {(s^{3})}^{- 2} (3 s^{2}))$

단계 3.5

${(s^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- s^{3 \cdot - 2} (3 s^{2}))$

단계 3.5.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- s^{- 6} (3 s^{2}))$

단계 3.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- 3 s^{- 6} s^{2})$

단계 3.7

지수를 더하여 $s^{- 6}$ 에 $s^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.7.1

$s^{2}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- 3 (s^{2} s^{- 6}))$

단계 3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- 3 s^{2 - 6})$

단계 3.7.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- 3 s^{- 4})$

단계 3.8

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} + 3 (\frac{5}{4}) s^{- 4}$

단계 3.9

$3$ 와 $\frac{5}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{3 \cdot 5}{4} s^{- 4}$

단계 3.10

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{15}{4} s^{- 4}$

단계 3.11

$\frac{15}{4}$ 와 $s^{- 4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{15 s^{- 4}}{4}$

단계 3.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $s^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{15}{4 s^{4}}$