미적분 예제

$\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}} - \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}} - \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$5$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{5}}}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.2

$\frac{1}{t^{\frac{1}{5}}}$ 을 ${(t^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$5 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{5}})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.3

$f (t) = t^{- 1}$ , $g (t) = t^{\frac{1}{5}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $t^{\frac{1}{5}}$ 로 바꿉니다.

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $t^{\frac{1}{5}}$ 로 바꿉니다.

$5 (- {(t^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.4

$n = \frac{1}{5}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (- {(t^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.5

${(t^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$5 (- t^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.5.2

$\frac{1}{5}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$5 (- t^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.7

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.9.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.9.2

$1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{- 4}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.11

$\frac{1}{5}$ 와 $t^{- \frac{4}{5}}$ 을 묶습니다.

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} \frac{t^{- \frac{4}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.12

$\frac{t^{- \frac{4}{5}}}{5}$ 와 $t^{- \frac{2}{5}}$ 을 묶습니다.

$5 (- \frac{t^{- \frac{4}{5}} t^{- \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.13

지수를 더하여 $t^{- \frac{4}{5}}$ 에 $t^{- \frac{2}{5}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.13.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 (- \frac{t^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.13.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 (- \frac{t^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.13.3

$- 4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$5 (- \frac{t^{\frac{- 6}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.13.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 (- \frac{t^{- \frac{6}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $t^{- \frac{6}{5}}$ 를 분모로 이동합니다.

$5 (- \frac{1}{5 t^{\frac{6}{5}}}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.15

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 5 \frac{1}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.16

$- 5$ 와 $\frac{1}{5 t^{\frac{6}{5}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 5}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.17

$- 5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.18

공약수로 약분합니다.

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단계 2.18.1

$5 t^{\frac{6}{5}}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 (t^{\frac{6}{5}})} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.18.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.18.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.19

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 3

$\frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 8$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}]$ 입니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}]$

단계 3.2

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}$ 을 ${(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

단계 3.3

$f (t) = t^{- 1}$ , $g (t) = t^{\frac{3}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $t^{\frac{3}{2}}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}])$

단계 3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}])$

단계 3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $t^{\frac{3}{2}}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}])$

단계 3.4

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

단계 3.5

${(t^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

단계 3.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

단계 3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

단계 3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

단계 3.5.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

단계 3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

단계 3.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 3.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}))$

단계 3.9.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}))$

단계 3.10

$\frac{3}{2}$ 와 $t^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2})$

단계 3.11

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 $t^{- 3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{1}{2}} t^{- 3}}{2})$

단계 3.12

지수를 더하여 $t^{\frac{1}{2}}$ 에 $t^{- 3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.12.1

$t^{- 3}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 (t^{- 3} t^{\frac{1}{2}})}{2})$

단계 3.12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2})$

단계 3.12.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

단계 3.12.4

$- 3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

단계 3.12.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2})$

단계 3.12.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.12.6.1

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2})$

단계 3.12.6.2

$- 6$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 5}{2}}}{2})$

단계 3.12.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{- \frac{5}{2}}}{2})$

단계 3.13

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $t^{- \frac{5}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3}{2 t^{\frac{5}{2}}})$

단계 3.14

$- 1$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + 8 \frac{3}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.15

$8$ 와 $\frac{3}{2 t^{\frac{5}{2}}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{8 \cdot 3}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.16

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{24}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.17

$24$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{2 \cdot 12}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.18

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.18.1

$2 t^{\frac{5}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{2 \cdot 12}{2 (t^{\frac{5}{2}})}$

단계 3.18.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{2 \cdot 12}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.18.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{12}{t^{\frac{5}{2}}}$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{12}{t^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}}$