미적분 예제

$\frac{8 + e^{t}}{3 t^{4} - t}$

단계 1

$f (t) = 8 + e^{t}$ , $g (t) = 3 t^{4} - t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 t^{4} - t) \frac{d}{d t} [8 + e^{t}] - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $8 + e^{t}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ 가 됩니다.

$\frac{(3 t^{4} - t) (\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [e^{t}]) - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 2.2

$8$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$\frac{(3 t^{4} - t) (0 + \frac{d}{d t} [e^{t}]) - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [e^{t}]$ 에 더합니다.

$\frac{(3 t^{4} - t) \frac{d}{d t} [e^{t}] - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 은 $a^{t} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $3 t^{4} - t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t]$ 가 됩니다.

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 4.2

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ 입니다.

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (3 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 4.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (3 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 4.4

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 4.5

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - \frac{d}{d t} [t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - 1 \cdot 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 4.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} + (- 1 \cdot 8 - e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 5.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.1

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} + (- 8 - e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 5.3.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 8 - e^{t}) (12 t^{3} - 1)$ 를 전개합니다.

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단계 5.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 8 (12 t^{3} - 1) - e^{t} (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 5.3.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 8 (12 t^{3}) - 8 \cdot - 1 - e^{t} (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 5.3.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 8 (12 t^{3}) - 8 \cdot - 1 - e^{t} (12 t^{3}) - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 5.3.1.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.3.1

$12$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} - 8 \cdot - 1 - e^{t} (12 t^{3}) - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 5.3.1.3.2

$- 8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - e^{t} (12 t^{3}) - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 5.3.1.3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 1 \cdot 12 e^{t} t^{3} - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 5.3.1.3.4

$- 1$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 5.3.1.3.5

$- e^{t} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1.3.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} + 1 e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 5.3.1.3.5.2

$e^{t}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} + e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 5.3.2

$3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} + e^{t}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 t^{3} e^{t} + e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

단계 5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 96 t^{3} + 3 e^{t} t^{4} - e^{t} t - 12 e^{t} t^{3} + 8 + e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$