미적분 예제

$\frac{t - 1}{t^{2} + 1}$

단계 1

$f (t) = t - 1$ , $g (t) = t^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t - 1] - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $t - 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{(t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(t^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.3

$- 1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{(t^{2} + 1) (1 + 0) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(t^{2} + 1) \cdot 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.4.2

$t^{2} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $t^{2} + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.7

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (2 t + 0)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

$2 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (2 t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.8.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{2} + 1 - 2 (t - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{t^{2} + 1 + (- 2 t - 2 \cdot - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{t^{2} + 1 - 2 t \cdot t - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

지수를 더하여 $t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1

$t$ 를 옮깁니다.

$\frac{t^{2} + 1 - 2 (t \cdot t) - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.1.2

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2} - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2} + 2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.3.2

$t^{2}$ 에서 $2 t^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- t^{2} + 1 + 2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.5

$- t^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (t^{2}) + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6

$2 t$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (t^{2}) - (- 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.7

$- (t^{2}) - (- 2 t)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (t^{2} - 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.8

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.9

$- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.10

$- (t^{2} - 2 t - 1)$ 을 $- 1 (t^{2} - 2 t - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$