미적분 예제

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

단계 1

$f (t) = \sin (t)$ , $g (t) = 1 - \cos (t)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - \cos (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)] - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 2

$\sin (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\cos (t)$ 입니다.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $1 - \cos (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ 가 됩니다.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 3.2

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ 에 더합니다.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [- \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 3.4

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- \cos (t)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ 입니다.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (- \frac{d}{d t} [\cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 3.5

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + 1 \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 3.5.2

$\sin (t)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 4

$\cos (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- \sin (t)$ 입니다.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 5

$\sin (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 6

$\sin (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - {\sin (t)}^{1 + 1}}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 \cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

$\cos (t)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9.2.1.2

$- \cos (t) \cos (t)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.2.1

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9.2.1.2.2

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9.2.1.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\cos (t) - {\cos (t)}^{1 + 1} - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9.2.1.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\cos (t) - \cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9.2.2

$- \cos^{2} (t)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9.2.3

$- \sin^{2} (t)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9.2.4

$- (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9.2.5

항을 다시 배열합니다.

$\frac{\cos (t) - (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9.2.6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{\cos (t) - 1 \cdot 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9.2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (t) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9.3

항을 묶습니다.

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단계 9.3.1

$\cos (t) - 1$ 및 ${(1 - \cos (t))}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1.1

$\cos (t)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9.3.1.2

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9.3.1.3

$- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (- \cos (t) + 1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9.3.1.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 1 (1 - \cos (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9.3.1.5

$- 1 (1 - \cos (t))$ 에서 $1 - \cos (t)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

단계 9.3.1.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1.6.1

${(1 - \cos (t))}^{2}$ 에서 $1 - \cos (t)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

단계 9.3.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

단계 9.3.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1 - \cos (t)}$

단계 9.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{1 - \cos (t)}$