미적분 예제

$e^{t} (e^{2 t} - e^{- 2 t})$

단계 1

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = e^{2 t} - e^{- 2 t}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{t} \frac{d}{d t} [e^{2 t} - e^{- 2 t}] + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $e^{2 t} - e^{- 2 t}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]$ 가 됩니다.

$e^{t} (\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

단계 3

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = 2 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 t$ 로 바꿉니다.

$e^{t} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{t} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

단계 3.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$e^{t} (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$e^{t} (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{t} (e^{2 t} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{t} (e^{2 t} \cdot 2 + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

단계 4.3.2

$e^{2 t}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{t} (2 \cdot e^{2 t} + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

단계 4.4

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- e^{- 2 t}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [e^{- 2 t}]$ 입니다.

$e^{t} (2 e^{2 t} - \frac{d}{d t} [e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

단계 5

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = - 2 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- 2 t$ 로 바꿉니다.

$e^{t} (2 e^{2 t} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 2 t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

단계 5.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{t} (2 e^{2 t} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 2 t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $- 2 t$ 로 바꿉니다.

$e^{t} (2 e^{2 t} - (e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [- 2 t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

$- 2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 2 t$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$e^{t} (2 e^{2 t} - e^{- 2 t} (- 2 \frac{d}{d t} [t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

단계 6.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [t]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

단계 6.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t} \cdot 1) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

단계 6.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t}) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

단계 7

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 은 $a^{t} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t}) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) e^{t}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{t} (2 e^{2 t}) + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) e^{t}$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{t} (2 e^{2 t}) + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

단계 8.3

항을 묶습니다.

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단계 8.3.1

지수를 더하여 $e^{t}$ 에 $e^{2 t}$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.1.1

$e^{2 t}$ 를 옮깁니다.

$e^{2 t} e^{t} \cdot 2 + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

단계 8.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{2 t + t} \cdot 2 + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

단계 8.3.1.3

$2 t$ 를 $t$ 에 더합니다.

$e^{3 t} \cdot 2 + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

단계 8.3.2

$e^{3 t}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot e^{3 t} + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

단계 8.3.3

지수를 더하여 $e^{t}$ 에 $e^{- 2 t}$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.3.1

$e^{- 2 t}$ 를 옮깁니다.

$2 e^{3 t} + e^{- 2 t} e^{t} \cdot 2 + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

단계 8.3.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 e^{3 t} + e^{- 2 t + t} \cdot 2 + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

단계 8.3.3.3

$- 2 t$ 를 $t$ 에 더합니다.

$2 e^{3 t} + e^{- t} \cdot 2 + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

단계 8.3.4

$e^{- t}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 e^{3 t} + 2 \cdot e^{- t} + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

단계 8.3.5

지수를 더하여 $e^{2 t}$ 에 $e^{t}$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.5.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{2 t + t} - e^{- 2 t} e^{t}$

단계 8.3.5.2

$2 t$ 를 $t$ 에 더합니다.

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - e^{- 2 t} e^{t}$

단계 8.3.6

지수를 더하여 $e^{- 2 t}$ 에 $e^{t}$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.6.1

$e^{t}$ 를 옮깁니다.

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - (e^{t} e^{- 2 t})$

단계 8.3.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - e^{t - 2 t}$

단계 8.3.6.3

$t$ 에서 $2 t$ 을 뺍니다.

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - e^{- t}$

단계 8.3.7

$2 e^{3 t}$ 를 $e^{3 t}$ 에 더합니다.

$3 e^{3 t} + 2 e^{- t} - e^{- t}$

단계 8.3.8

$2 e^{- t}$ 에서 $e^{- t}$ 을 뺍니다.

$3 e^{3 t} + e^{- t}$