미적분 예제

$\frac{t^{2} + 1}{t^{4} - 3 t^{2} + 4}$

단계 1

$f (t) = t^{2} + 1$ , $g (t) = t^{4} - 3 t^{2} + 4$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $t^{2} + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 2.3

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$2 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 2.4.2

$t^{4} - 3 t^{2} + 4$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $t^{4} - 3 t^{2} + 4$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 2.6

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 2.7

$- 3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 3 t^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 3 (2 t) + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 2.9

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 2.10

$4$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t + 0)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 2.11

$4 t^{3} - 6 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 t^{4} + 2 (- 3 t^{2}) + 2 \cdot 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

지수를 더하여 $t^{4}$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1.1

$t$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (t \cdot t^{4}) + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.1.2

$t$ 에 $t^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (t^{1} t^{4}) + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 t^{1 + 4} + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.1.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.2

지수를 더하여 $t^{2}$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.2.1

$t$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 (t \cdot t^{2})) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.2.2

$t$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.2.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 (t^{1} t^{2})) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 t^{1 + 2}) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 t^{3}) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.3

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.4

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t + (- t^{2} - 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(- t^{2} - 1) (4 t^{3} - 6 t)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - t^{2} (4 t^{3} - 6 t) - 1 (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.7.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 t^{2} t^{3} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.7.1.2

지수를 더하여 $t^{2}$ 에 $t^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.7.1.2.1

$t^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 (t^{3} t^{2}) - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.7.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 t^{3 + 2} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.7.1.2.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 t^{5} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.7.1.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.7.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{2} t - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.7.1.5

지수를 더하여 $t^{2}$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.7.1.5.1

$t$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 (t \cdot t^{2}) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.7.1.5.2

$t$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.7.1.5.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 (t^{1} t^{2}) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.7.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{1 + 2} - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.7.1.5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{3} - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.7.1.6

$- 1$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.7.1.7

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 4 t^{3} - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.7.1.8

$- 6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.1.7.2

$6 t^{3}$ 에서 $4 t^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 2 t^{3} + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.2

$2 t^{5}$ 에서 $4 t^{5}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t + 2 t^{3} + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.3

$- 6 t^{3}$ 를 $2 t^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 t^{5} - 4 t^{3} + 8 t + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4.4

$8 t$ 를 $6 t$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 t^{5} - 4 t^{3} + 14 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.5

$- 2 t^{5} - 4 t^{3} + 14 t$ 에서 $2 t$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- 2 t^{5}$ 에서 $2 t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 t (- t^{4}) - 4 t^{3} + 14 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.5.2

$- 4 t^{3}$ 에서 $2 t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 2 t^{2}) + 14 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.5.3

$14 t$ 에서 $2 t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 2 t^{2}) + 2 t (7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.5.4

$2 t (- t^{4}) + 2 t (- 2 t^{2})$ 에서 $2 t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 t (- t^{4} - 2 t^{2}) + 2 t (7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.5.5

$2 t (- t^{4} - 2 t^{2}) + 2 t (7)$ 에서 $2 t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 t (- t^{4} - 2 t^{2} + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.6

$- t^{4}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 t (- (t^{4}) - 2 t^{2} + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.7

$- 2 t^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 t (- (t^{4}) - (2 t^{2}) + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.8

$- (t^{4}) - (2 t^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 t (- (t^{4} + 2 t^{2}) + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.9

$7$ 을 $- 1 (- 7)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 t (- (t^{4} + 2 t^{2}) - 1 (- 7))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.10

$- (t^{4} + 2 t^{2}) - 1 (- 7)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 t (- (t^{4} + 2 t^{2} - 7))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.11

$- (t^{4} + 2 t^{2} - 7)$ 을 $- 1 (t^{4} + 2 t^{2} - 7)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 t (- 1 (t^{4} + 2 t^{2} - 7))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(2 t) (t^{4} + 2 t^{2} - 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.13

$- \frac{(2 t) (t^{4} + 2 t^{2} - 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{2 t (t^{4} + 2 t^{2} - 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$