미적분 예제

${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$

단계 1

합의 법칙에 의해 ${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (t) = t^{4}$ , $g (t) = 8 t - 7$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $8 t - 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

단계 2.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $8 t - 7$ 로 바꿉니다.

$4 {(8 t - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $8 t - 7$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ 가 됩니다.

$4 {(8 t - 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

단계 2.3

$8$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $8 t$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

단계 2.5

$- 7$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

단계 2.6

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

단계 2.7

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 {(8 t - 7)}^{3} \cdot 8 + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

단계 2.8

$8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

단계 3

$\frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (t) = t^{4}$ , $g (t) = 8 t + 7$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $8 t + 7$ 로 바꿉니다.

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

단계 3.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

단계 3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $8 t + 7$ 로 바꿉니다.

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $8 t + 7$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7]$ 가 됩니다.

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7])$

단계 3.3

$8$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $8 t$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [7])$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [7])$

단계 3.5

$7$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0)$

단계 3.6

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 + 0)$

단계 3.7

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \cdot 8$

단계 3.8

$8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$32 {(8 t - 7)}^{3}$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

단계 4.1.2

$32 {(8 t + 7)}^{3}$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$

단계 4.1.3

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

$32 ({(8 t - 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

이항정리 이용

$32 ({(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

단계 4.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$8 t$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$32 (8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

단계 4.2.2.2

$8$ 를 $3$ 승 합니다.

$32 (512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

단계 4.2.2.3

$8 t$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$32 (512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

단계 4.2.2.4

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$32 (512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

단계 4.2.2.5

$64$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$32 (512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

단계 4.2.2.6

$- 7$ 에 $192$ 을 곱합니다.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

단계 4.2.2.7

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

단계 4.2.2.8

$- 7$ 를 $2$ 승 합니다.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

단계 4.2.2.9

$49$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

단계 4.2.2.10

$- 7$ 를 $3$ 승 합니다.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t + 7)}^{3})$

단계 4.2.3

이항정리 이용

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

단계 4.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

$8 t$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

단계 4.2.4.2

$8$ 를 $3$ 승 합니다.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

단계 4.2.4.3

$8 t$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

단계 4.2.4.4

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

단계 4.2.4.5

$64$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

단계 4.2.4.6

$7$ 에 $192$ 을 곱합니다.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

단계 4.2.4.7

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 7^{2} + 7^{3})$

단계 4.2.4.8

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + 7^{3})$

단계 4.2.4.9

$49$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 7^{3})$

단계 4.2.4.10

$7$ 를 $3$ 승 합니다.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343)$

단계 4.3

$512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$- 1344 t^{2}$ 를 $1344 t^{2}$ 에 더합니다.

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 0 + 1176 t + 343)$

단계 4.3.2

$512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1176 t + 343)$

단계 4.3.3

$- 343$ 를 $343$ 에 더합니다.

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t + 0)$

단계 4.3.4

$512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t)$

단계 4.4

$512 t^{3}$ 를 $512 t^{3}$ 에 더합니다.

$32 (1024 t^{3} + 1176 t + 1176 t)$

단계 4.5

$1176 t$ 를 $1176 t$ 에 더합니다.

$32 (1024 t^{3} + 2352 t)$

단계 4.6

분배 법칙을 적용합니다.

$32 (1024 t^{3}) + 32 (2352 t)$

단계 4.7

$1024$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$32768 t^{3} + 32 (2352 t)$

단계 4.8

$2352$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$32768 t^{3} + 75264 t$