미적분 예제

$\frac{\sqrt{a + b t}}{t}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{a + b t}$ 을(를) ${(a + b t)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [\frac{{(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}{t}]$

단계 2

$f (t) = {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}$ , $g (t) = t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{t \frac{d}{d t} [{(a + b t)}^{\frac{1}{2}}] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 3

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ , $g (t) = a + b t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $a + b t$ 로 바꿉니다.

$\frac{t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $a + b t$ 로 바꿉니다.

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(a + b t)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{t (\frac{{(a + b t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(a + b t)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{t (\frac{1}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 8.4

$\frac{1}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [a + b t] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 9

합의 법칙에 의해 $a + b t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [a] + \frac{d}{d t} [b t]$ 가 됩니다.

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [a] + \frac{d}{d t} [b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 10

$a$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $a$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $a$ 입니다.

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 11

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [b t]$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [b t] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 12

$b$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $b t$ 의 미분은 $b \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} (b \frac{d}{d t} [t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 13

$b$ 와 $\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 14

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 15

$\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 16

$\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$ 에 $\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

단계 17

조합합니다.

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

단계 18

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (- {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

단계 19

$2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 19.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (- {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

단계 19.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{b t + 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (- {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

단계 20

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} ({(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

단계 21

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

단계 22

식을 간단히 합니다.

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단계 22.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

단계 22.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

단계 23

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 23.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

단계 23.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{1} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

단계 24

간단히 합니다.

$\frac{b t - 2 (a + b t) \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

단계 25

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{b t - 2 (a + b t) \cdot 1}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

단계 26

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{b t - 2 (a + b t)}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

단계 27

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{b t - 2 a - 2 (b t)}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

단계 27.2

$b t$ 에서 $2 b t$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 a - b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

단계 27.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 2 a - b t}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 27.4

$- 2 a$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 a) - b t}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 27.5

$- b t$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 a) - (b t)}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 27.6

$- (2 a) - (b t)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 a + b t)}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 27.7

$- (2 a + b t)$ 을 $- 1 (2 a + b t)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (2 a + b t)}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 27.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 a + b t}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$