미적분 예제

$\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{4}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{1}{4} t^{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

단계 2.3

$2$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{4} t + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

단계 2.4

$\frac{2}{4}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$\frac{2 t}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

단계 2.5

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.1

$2 t$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (t)}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

단계 2.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

단계 2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

단계 2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{t}{2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

단계 3

$\frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- \ln (t + 1)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ 입니다.

$\frac{t}{2} - \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$

단계 3.2

$f (t) = \ln (t)$ , $g (t) = t + 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{t}{2} - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1])$

단계 3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $t + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $t + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

단계 3.5

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + 0))$

단계 3.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \cdot 1)$

단계 3.7

$\frac{1}{t + 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{t}{2} - \frac{1}{t + 1}$

단계 4

항을 묶습니다.

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단계 4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{t}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{t + 1}{t + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1}$

단계 4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{t + 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

단계 4.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $2 (t + 1)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.3.1

$\frac{t}{2}$ 에 $\frac{t + 1}{t + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

단계 4.3.2

$\frac{1}{t + 1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{(t + 1) \cdot 2}$

단계 4.3.3

$(t + 1) \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{2 (t + 1)}$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{t (t + 1) - 2}{2 (t + 1)}$