미적분 예제

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 1

$f (t) = 10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}$ , $g (t) = 6000 + 500 t + 10 t^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) \frac{d}{d t} [6000 + 500 t + 10 t^{2}] + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $6000 + 500 t + 10 t^{2}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [6000] + \frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]$ 가 됩니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (\frac{d}{d t} [6000] + \frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

단계 2.2

$6000$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $6000$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $6000$ 입니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [500 t]$ 에 더합니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (\frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

단계 2.4

$500$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $500 t$ 의 미분은 $500 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

단계 2.6

$500$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

단계 2.7

$10$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $10 t^{2}$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 10 \frac{d}{d t} [t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

단계 2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 10 (2 t)) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

단계 2.9

$2$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

단계 2.10

합의 법칙에 의해 $10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}]$ 가 됩니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

단계 2.11

$10$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $10$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $10$ 입니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

단계 2.12

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [0.2 t]$ 에 더합니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (\frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

단계 2.13

$0.2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $0.2 t$ 의 미분은 $0.2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

단계 2.14

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

단계 2.15

$0.2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

단계 2.16

$0.01$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $0.01 t^{2}$ 의 미분은 $0.01 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.01 \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 2.17

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.01 (2 t))$

단계 2.18

$2$ 에 $0.01$ 을 곱합니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$

단계 3.1.2

$(6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)) + 1 ((6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t))$

단계 3.1.3

$1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)) + 1 ((6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t))$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t))$

단계 3.2

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$

단계 3.3

항을 다시 정렬합니다.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)$ 를 전개합니다.

$10 \cdot 500 + 10 (20 t) + 0.2 t \cdot 500 + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$10$ 에 $500$ 을 곱합니다.

$5000 + 10 (20 t) + 0.2 t \cdot 500 + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4.2.2

$20$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$5000 + 200 t + 0.2 t \cdot 500 + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4.2.3

$500$ 에 $0.2$ 을 곱합니다.

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4.2.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 \cdot 20 t \cdot t + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4.2.5

지수를 더하여 $t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.5.1

$t$ 를 옮깁니다.

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 \cdot 20 (t \cdot t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4.2.5.2

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 \cdot 20 t^{2} + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4.2.6

$0.2$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4.2.7

$500$ 에 $0.01$ 을 곱합니다.

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4.2.8

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 t^{2} t + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4.2.9

지수를 더하여 $t^{2}$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.9.1

$t$ 를 옮깁니다.

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 (t \cdot t^{2}) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4.2.9.2

$t$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.9.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 (t^{1} t^{2}) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4.2.9.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 t^{1 + 2} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4.2.9.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4.2.10

$0.01$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.2 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4.3

$200 t$ 를 $100 t$ 에 더합니다.

$5000 + 300 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.2 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4.4

$4 t^{2}$ 를 $5 t^{2}$ 에 더합니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

단계 3.4.5

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$ 를 전개합니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 0.2 \cdot 6000 + 0.2 (500 t) + 0.2 (10 t^{2}) + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

단계 3.4.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

$0.2$ 에 $6000$ 을 곱합니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 0.2 (500 t) + 0.2 (10 t^{2}) + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

단계 3.4.6.2

$500$ 에 $0.2$ 을 곱합니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 0.2 (10 t^{2}) + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

단계 3.4.6.3

$10$ 에 $0.2$ 을 곱합니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

단계 3.4.6.4

$6000$ 에 $0.02$ 을 곱합니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

단계 3.4.6.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 \cdot 500 t \cdot t + 0.02 t (10 t^{2})$

단계 3.4.6.6

지수를 더하여 $t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.6.1

$t$ 를 옮깁니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 \cdot 500 (t \cdot t) + 0.02 t (10 t^{2})$

단계 3.4.6.6.2

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 \cdot 500 t^{2} + 0.02 t (10 t^{2})$

단계 3.4.6.7

$0.02$ 에 $500$ 을 곱합니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 t (10 t^{2})$

단계 3.4.6.8

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 t \cdot t^{2}$

단계 3.4.6.9

지수를 더하여 $t$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.9.1

$t^{2}$ 를 옮깁니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 (t^{2} t)$

단계 3.4.6.9.2

$t^{2}$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.9.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 (t^{2} t^{1})$

단계 3.4.6.9.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 t^{2 + 1}$

단계 3.4.6.9.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 t^{3}$

단계 3.4.6.10

$0.02$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.2 t^{3}$

단계 3.4.7

$100 t$ 를 $120 t$ 에 더합니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 2 t^{2} + 220 t + 10 t^{2} + 0.2 t^{3}$

단계 3.4.8

$2 t^{2}$ 를 $10 t^{2}$ 에 더합니다.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 12 t^{2} + 220 t + 0.2 t^{3}$

단계 3.5

$5000$ 를 $1200$ 에 더합니다.

$300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 6200 + 12 t^{2} + 220 t + 0.2 t^{3}$

단계 3.6

$300 t$ 를 $220 t$ 에 더합니다.

$9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 6200 + 12 t^{2} + 520 t + 0.2 t^{3}$

단계 3.7

$9 t^{2}$ 를 $12 t^{2}$ 에 더합니다.

$21 t^{2} + 0.2 t^{3} + 6200 + 520 t + 0.2 t^{3}$

단계 3.8

$0.2 t^{3}$ 를 $0.2 t^{3}$ 에 더합니다.

$21 t^{2} + 0.4 t^{3} + 6200 + 520 t$