미적분 예제

${(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

단계 1

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ , $g (t) = t^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

단계 1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $t^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

단계 3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

단계 4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

단계 5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

단계 5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

단계 6

분수를 통분합니다.

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단계 6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

단계 6.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

단계 6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

단계 7

합의 법칙에 의해 $t^{2} + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

단계 8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 t + \frac{d}{d t} [1])$

단계 9

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 t + 0)$

단계 10

항을 간단히 합니다.

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단계 10.1

$2 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 t)$

단계 10.2

$2$ 와 $\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} t$

단계 10.3

$\frac{2}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$\frac{2 t}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 t}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{t}{{(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$