미적분 예제

$\frac{2 x - 1}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}}$

단계 1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.3

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $C$ 를 적습니다.

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$

단계 1.4

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 ${(x + 1)}^{3}$ 입니다.

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

단계 1.5

${(x + 1)}^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

단계 1.5.2

$2 x - 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x - 1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

단계 1.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

${(x + 1)}^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 x - 1 = \frac{A {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

단계 1.6.1.2

$A$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x - 1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

단계 1.6.2

${(x + 1)}^{3}$ 및 ${(x + 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.2.1

$(B) {(x + 1)}^{3}$ 에서 ${(x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

단계 1.6.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

단계 1.6.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

단계 1.6.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 x - 1 = A + \frac{B (x + 1)}{1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

단계 1.6.2.2.4

$B (x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x - 1 = A + B (x + 1) + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

단계 1.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x - 1 = A + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

단계 1.6.4

$B$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

단계 1.6.5

${(x + 1)}^{3}$ 및 $x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.5.1

$(C) {(x + 1)}^{3}$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

단계 1.6.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.5.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

단계 1.6.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

단계 1.6.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{C {(x + 1)}^{2}}{1}$

단계 1.6.5.2.4

$C {(x + 1)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + C {(x + 1)}^{2}$

단계 1.6.6

${(x + 1)}^{2}$ 을 $(x + 1) (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + C ((x + 1) (x + 1))$

단계 1.6.7

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

단계 1.6.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

단계 1.6.7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

단계 1.6.8

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.8.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

단계 1.6.8.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

단계 1.6.8.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

단계 1.6.8.1.4

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1)$

단계 1.6.8.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + 2 x + 1)$

단계 1.6.9

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + C (2 x) + C \cdot 1$

단계 1.6.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.10.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C \cdot 1$

단계 1.6.10.2

$C$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C$

단계 1.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$B$ 를 옮깁니다.

$2 x - 1 = A + B x + C x^{2} + 2 C x + B + C$

단계 1.7.2

$A$ 를 옮깁니다.

$2 x - 1 = B x + C x^{2} + 2 C x + A + B + C$

단계 1.7.3

$B x$ 와 $C x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$2 x - 1 = C x^{2} + B x + 2 C x + A + B + C$

단계 2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 각 변의 $x^{2}$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = C$

단계 2.2

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$2 = B + 2 C$

단계 2.3

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$- 1 = A + B + C$

단계 2.4

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

단계 3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$C = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$C = 0$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

단계 3.2

각 방정식에서 $C$ 를 모두 $0$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$2 = B + 2 C$ 의 $C$ 를 모두 $0$ 로 바꿉니다.

$2 = B + 2 (0)$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$B + 2 (0)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 = B + 0$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

단계 3.2.2.1.2

$B$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

단계 3.2.3

$- 1 = A + B + C$ 의 $C$ 를 모두 $0$ 로 바꿉니다.

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

단계 3.2.4

$- 1 = A + B + 0$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1.1

괄호를 제거합니다.

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

단계 3.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.2.1

$A + B$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

단계 3.3

$B = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$B = 2$

$- 1 = A + B$

$C = 0$

단계 3.4

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $2$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- 1 = A + B$ 의 $B$ 를 모두 $2$ 로 바꿉니다.

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

단계 3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

단계 3.5

$- 1 = A + 2$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$A + 2 = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + 2 = - 1$

$B = 2$

$C = 0$

단계 3.5.2

$A$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$A = - 1 - 2$

$B = 2$

$C = 0$

단계 3.5.2.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

단계 3.6

연립방정식을 풉니다.

$A = - 3 B = 2 C = 0$

단계 3.7

모든 해를 나열합니다.

$A = - 3, B = 2, C = 0$

단계 4

$A$ , $B$ , $C$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$