미적분 예제

$\frac{x^{3}}{x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - 27}$

단계 1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분수를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{x^{3}}{(x^{3} - 3 x^{2}) + 9 x - 27}$

단계 1.1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x^{3}}{x^{2} (x - 3) + 9 (x - 3)}$

단계 1.1.2

최대공약수 $x - 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{x^{3}}{(x - 3) (x^{2} + 9)}$

단계 1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x - 3}$

단계 1.3

분모의 각 인수에 대해 분모에는 인수를, 분자에는 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 인수가 2차이므로 분자에 $2$ 개의 항이 필요합니다. 분자에 필요한 항의 개수는 항상 분모에 있는 인수의 차수와 동일합니다.

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$

단계 1.4

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(x - 3) (x^{2} + 9)$ 입니다.

$\frac{x^{3} (x - 3) (x^{2} + 9)}{(x - 3) (x^{2} + 9)} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

단계 1.5

$x - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{3} (x - 3) (x^{2} + 9)}{(x - 3) (x^{2} + 9)} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

단계 1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{3} (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

단계 1.6

$x^{2} + 9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{3} (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

단계 1.6.2

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{3} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

단계 1.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$x - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1

공약수로 약분합니다.

$x^{3} = \frac{A (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

단계 1.7.1.2

$(A) (x^{2} + 9)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{3} = (A) (x^{2} + 9) + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

단계 1.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} = A x^{2} + A \cdot 9 + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

단계 1.7.3

$A$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$x^{3} = A x^{2} + 9 \cdot A + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

단계 1.7.4

$x^{2} + 9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

단계 1.7.4.2

$(B x + C) (x - 3)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + (B x + C) (x - 3)$

단계 1.7.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(B x + C) (x - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x (x - 3) + C (x - 3)$

단계 1.7.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C (x - 3)$

단계 1.7.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

단계 1.7.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.6.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.6.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

단계 1.7.6.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

단계 1.7.6.2

$B x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 3$

단계 1.7.6.3

$C$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x - 3 C$

단계 1.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$B$ 를 옮깁니다.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 x B + C x - 3 C$

단계 1.8.2

$9 A$ 를 옮깁니다.

$x^{3} = A x^{2} + B x^{2} - 3 x B + C x + 9 A - 3 C$

단계 2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 각 변의 $x^{2}$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = A + B$

단계 2.2

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = - 3 B + C$

단계 2.3

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = 9 A - 3 C$

단계 2.4

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = A + B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

$0 = A + B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

단계 3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$0 = A + B$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$A + B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + B = 0$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

단계 3.1.2

방정식의 양변에서 $B$ 를 뺍니다.

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

단계 3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $- B$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$0 = 9 A - 3 C$ 의 $A$ 를 모두 $- B$ 로 바꿉니다.

$0 = 9 (- B) - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

단계 3.3

$0 = - 3 B + C$ 의 $C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 3 B + C = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 3 B + C = 0$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

단계 3.3.2

방정식의 양변에 $3 B$ 를 더합니다.

$C = 3 B$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$C = 3 B$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

단계 3.4

각 방정식에서 $C$ 를 모두 $3 B$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$0 = - 9 B - 3 C$ 의 $C$ 를 모두 $3 B$ 로 바꿉니다.

$0 = - 9 B - 3 (3 B)$

$C = 3 B$

$A = - B$

단계 3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$- 9 B - 3 (3 B)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$0 = - 9 B - 9 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

단계 3.4.2.1.2

$- 9 B$ 에서 $9 B$ 을 뺍니다.

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

단계 3.5

$0 = - 18 B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- 18 B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 18 B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

단계 3.5.2

$- 18 B = 0$ 의 각 항을 $- 18$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$- 18 B = 0$ 의 각 항을 $- 18$ 로 나눕니다.

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

단계 3.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1

$- 18$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

단계 3.5.2.2.1.2

$B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

단계 3.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.3.1

$0$ 을 $- 18$ 로 나눕니다.

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

단계 3.6

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $0$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$C = 3 B$ 의 $B$ 를 모두 $0$ 로 바꿉니다.

$C = 3 (0)$

$B = 0$

$A = - B$

단계 3.6.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$C = 0$

$B = 0$

$A = - B$

$C = 0$

$B = 0$

$A = - B$

단계 3.6.3

$A = - B$ 의 $B$ 를 모두 $0$ 로 바꿉니다.

$A = - (0)$

$C = 0$

$B = 0$

단계 3.6.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.4.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

단계 3.7

모든 해를 나열합니다.

$A = 0, C = 0, B = 0$

단계 4

$A$ , $B$ , $C$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{0}{x - 3} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 9}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$(0) \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{x - 3} + \frac{(0) \cdot x}{x^{2} + 9}$

단계 5.2

$0$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{x - 3} + \frac{0}{x^{2} + 9}$