미적분 예제

$f (x) = \sqrt{2 x} {(1 - 4 x)}^{3}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 x}$ 을(를) ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

단계 1.2

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

단계 1.2.2

$2 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

단계 1.3

$2^{\frac{1}{2}}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}$ 의 미분은 $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$ 입니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = {(1 - 4 x)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{3}] + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 1 - 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - 4 x$ 로 바꿉니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $1 - 4 x$ 로 바꿉니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $1 - 4 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 가 됩니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x])) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x])) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 에 더합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.4

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.5

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.7

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.8

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

단계 6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

단계 8.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

단계 9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

단계 11

${(1 - 4 x)}^{3}$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + \frac{{(1 - 4 x)}^{3} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

단계 12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + \frac{{(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 13

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 14

$x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2})$ 와 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) (2 x^{\frac{1}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 16

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17

식을 간단히 합니다.

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단계 17.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{1 + 1}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{2}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 18

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 18.1

공약수로 약분합니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{2}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.2

수식을 다시 씁니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{1}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 19

$2$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x^{1} + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 20

간단히 합니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 21

$2^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{1}{2}} (- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 22

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $2^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

단계 23

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 23.1

$2^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.2

$2^{- \frac{1}{2}}$ 에 $2$ 을 곱합니다.

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단계 23.2.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 24

간단히 합니다.

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단계 24.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 24.1.1

$- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}$ 에서 ${(1 - 4 x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 24.1.1.1

$- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x$ 에서 ${(1 - 4 x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.1.1.2

${(1 - 4 x)}^{3}$ 에서 ${(1 - 4 x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x) + {(1 - 4 x)}^{2} (1 - 4 x)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.1.1.3

${(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x) + {(1 - 4 x)}^{2} (1 - 4 x)$ 에서 ${(1 - 4 x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x + 1 - 4 x)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.1.2

$- 24 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 28 x + 1)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.2

$- 28 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- (28 x) + 1)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.3

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- (28 x) - 1 (- 1))}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.4

$- (28 x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- (28 x - 1))}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.5

$- (28 x - 1)$ 을 $- 1 (28 x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 1 (28 x - 1))}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (28 x - 1)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$