미적분 예제

$f (x) = \sqrt{\sin (π (x - 1))} + \sqrt{4 - x^{2}}$

단계 1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{\sin (π (x - 1))}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$\sin (π (x - 1)) \geq 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$π (x - 1) \geq \arcsin (0)$

단계 2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$π (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$π x + π \cdot - 1 \geq \arcsin (0)$

단계 2.2.1.1.2

$π$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$π x - 1 \cdot π \geq \arcsin (0)$

단계 2.2.1.2

$- 1 π$ 을 $- π$ 로 바꿔 씁니다.

$π x - π \geq \arcsin (0)$

단계 2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$π x - π \geq 0$

단계 2.4

부등식 양변에 $π$ 를 더합니다.

$π x \geq π$

단계 2.5

$π x \geq π$ 의 각 항을 $π$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$π x \geq π$ 의 각 항을 $π$ 로 나눕니다.

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

단계 2.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$π$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

단계 2.5.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \geq \frac{π}{π}$

단계 2.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

$π$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$x \geq \frac{π}{π}$

단계 2.5.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x \geq 1$

단계 2.6

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$π x - π = π - 0$

단계 2.7

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$π x - π = π$

단계 2.7.2

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.1

방정식의 양변에 $π$ 를 더합니다.

$π x = π + π$

단계 2.7.2.2

$π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$π x = 2 π$

단계 2.7.3

$π x = 2 π$ 의 각 항을 $π$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.3.1

$π x = 2 π$ 의 각 항을 $π$ 로 나눕니다.

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

단계 2.7.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.3.2.1

$π$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

단계 2.7.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{2 π}{π}$

단계 2.7.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.3.3.1

$π$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{2 π}{π}$

단계 2.7.3.3.1.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = 2$

단계 2.8

$\sin (π (x - 1))$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.8.2

주기 공식에서 $b$ 에 $π$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| π |}$

단계 2.8.3

$π$ 은 약 $3.14159265$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\frac{2 π}{π}$

단계 2.8.4

$π$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 π}{π}$

단계 2.8.4.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2$

단계 2.9

함수 $\sin (π (x - 1))$ 의 주기는 $2$ 이므로 양 방향으로 $2$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1 + 2 n, 2 + 2 n$

단계 2.10

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1 n$

단계 2.11

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$0 < x < 1$

$1 < x < 2$

단계 2.12

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.1

$0 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.1.1

$0 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0.5$

단계 2.12.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0.5$ 로 치환합니다.

$\sin (π ((0.5) - 1)) \geq 0$

단계 2.12.1.3

좌변 $- 1$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 2.12.2

$1 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.2.1

$1 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1.5$

단계 2.12.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1.5$ 로 치환합니다.

$\sin (π ((1.5) - 1)) \geq 0$

단계 2.12.2.3

좌변 $1$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 2.12.3

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$0 < x < 1$ 거짓

$1 < x < 2$ 참

$0 < x < 1$ 거짓

$1 < x < 2$ 참

단계 2.13

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $1 + 2 n \leq x \leq 2 + 2 n$

단계 3

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{4 - x^{2}}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$4 - x^{2} \geq 0$

단계 4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

부등식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$- x^{2} \geq - 4$

단계 4.2

$- x^{2} \geq - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- x^{2} \geq - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

단계 4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

단계 4.2.2.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

단계 4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$- 4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x^{2} \leq 4$

단계 4.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 부등식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

단계 4.4

방정식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1.1

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| x | \leq \sqrt{4}$

단계 4.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

$\sqrt{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

단계 4.4.2.1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| x | \leq | 2 |$

단계 4.4.2.1.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$| x | \leq 2$

단계 4.5

$| x | \leq 2$ 을(를) 구간으로 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

첫 번째 구간의 간격을 구하려면 절댓값의 내부가 음이 아닌 곳을 찾습니다.

$x \geq 0$

단계 4.5.2

$x$ 이(가) 음수가 아닌 부분에서 절댓값을 제거합니다.

$x \leq 2$

단계 4.5.3

두 번째 구간의 간격을 구하려면 절댓값의 내부가 음인 곳을 찾습니다.

$x < 0$

단계 4.5.4

$x$ 이(가) 음수인 부분에서 절댓값을 제거하고 $- 1$ 을(를) 곱합니다.

$- x \leq 2$

단계 4.5.5

구간으로 씁니다.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

단계 4.6

$x \leq 2$ 와 $x \geq 0$ 의 교점을 구합니다.

$0 \leq x \leq 2$

단계 4.7

$x < 0$ 일 때 $- x \leq 2$ 를 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

$- x \leq 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1.1

$- x \leq 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

단계 4.7.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

단계 4.7.1.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \geq \frac{2}{- 1}$

단계 4.7.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1.3.1

$2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x \geq - 2$

단계 4.7.2

$x \geq - 2$ 와 $x < 0$ 의 교점을 구합니다.

$- 2 \leq x < 0$

단계 4.8

해의 합집합을 구합니다.

$- 2 \leq x \leq 2$

단계 5

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

조건제시법:

${x | - 2 \leq x \leq 2, x = 1 + 2 n, x = 2 + 2 n}$

단계 6