미적분 예제

$f (x) = \sqrt{2 - \sqrt{x}}$

단계 1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x \geq 0$

단계 2

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{2 - \sqrt{x}}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$2 - \sqrt{x} \geq 0$

단계 3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

부등식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- \sqrt{x} \geq - 2$

단계 3.2

좌변의 근호를 없애기 위해 부등식 양변을 제곱합니다.

${(- \sqrt{x})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

단계 3.3

부등식의 양번을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1.1

$- x^{\frac{1}{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

단계 3.3.2.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

단계 3.3.2.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

단계 3.3.2.1.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.3.2.1.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

단계 3.3.2.1.4.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.2.1.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

단계 3.3.2.1.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

단계 3.3.2.1.5

간단히 합니다.

$x \geq {(- 2)}^{2}$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.3.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x \geq 4$

단계 3.4

$2 - \sqrt{x}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 3.4.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x \geq 0$

단계 3.4.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$[0, \infty)$

단계 3.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

단계 3.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 3.6.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 3.6.1.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 3.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$2 - \sqrt{- 2} \geq 0$

단계 3.6.1.3

좌변이 우변과 같지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 3.6.2

$0 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 3.6.2.1

$0 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 3.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$2 - \sqrt{2} \geq 0$

단계 3.6.2.3

좌변 $0.58578643$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 3.6.3

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 3.6.3.1

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 3.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$2 - \sqrt{6} \geq 0$

단계 3.6.3.3

좌변 $- 0.44948974$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 3.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 0$ 거짓

$0 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

$x < 0$ 거짓

$0 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

단계 3.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$0 \leq x \leq 4$

단계 4

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[0, 4]$

조건제시법:

${x | 0 \leq x \leq 4}$

단계 5