미적분 예제

$y = \frac{3 \cos (x)}{5 x^{3}}$

단계 1

$f (x) = 3 \cos (x)$ , $g (x) = 5 x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5 x^{3} \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

단계 2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 \cos (x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$\frac{5 x^{3} (3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

단계 3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{5 x^{3} (3 (- \sin (x))) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

단계 4.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{3}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(5 x^{3})}^{2}}$

단계 4.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (5 (3 x^{2}))}{{(5 x^{3})}^{2}}$

단계 4.4

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{{(5 x^{3})}^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$5 x^{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

단계 5.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

단계 5.2.1.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

단계 5.2.1.3

$15$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 \cos (x) x^{2}}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

단계 5.2.2

$- 15 x^{3} \sin (x) - 45 \cos (x) x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

단계 5.3

항을 묶습니다.

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단계 5.3.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 {(x^{3})}^{2}}$

단계 5.3.2

${(x^{3})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{3 \cdot 2}}$

단계 5.3.2.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{6}}$

단계 5.4

$- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)$ 에서 $15 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.4.1

$- 15 x^{3} \sin (x)$ 에서 $15 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x)) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{6}}$

단계 5.4.2

$- 45 x^{2} \cos (x)$ 에서 $15 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x)) + 15 x^{2} (- 3 \cos (x))}{25 x^{6}}$

단계 5.4.3

$15 x^{2} (- x \sin (x)) + 15 x^{2} (- 3 \cos (x))$ 에서 $15 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{25 x^{6}}$

단계 5.5

$15$ 및 $25$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.1

$15 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{25 x^{6}}$

단계 5.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.1

$25 x^{6}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 (5 x^{6})}$

단계 5.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 (5 x^{6})}$

단계 5.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{5 x^{6}}$

단계 5.6

$x^{2}$ 및 $x^{6}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.1

$3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 x^{6}}$

단계 5.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.2.1

$5 x^{6}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{x^{2} (5 x^{4})}$

단계 5.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{x^{2} (5 x^{4})}$

단계 5.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$

단계 5.7

$- x \sin (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (x \sin (x)) - 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$

단계 5.8

$- 3 \cos (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (x \sin (x)) - (3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

단계 5.9

$- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (x \sin (x) + 3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

단계 5.10

$- (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ 을 $- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

단계 5.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$