미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{3} + 3 x + 2}{x^{2} - 1}$

단계 1

$f (x) = x^{3} + 3 x + 2$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x + 2] - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 3 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 + 0) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.2

$3 x^{2} + 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.6

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) + (- x^{3} - (3 x) - 1 \cdot 2) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3)$ 를 전개합니다.

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단계 5.3.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + 3) - 1 (3 x^{2} + 3) - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2} + 3) - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.2.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1.2.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.2.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.2.1.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.2.1.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 x^{4} + 3 \cdot x^{2} - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.2.1.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{2} - 3 x^{2} - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.2.1.5

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{2} - 3 x^{2} - 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.2.2

$3 x^{2}$ 에서 $3 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{3 x^{4} + 0 - 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.2.3

$3 x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} - 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 x^{3} x - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.4

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.4.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 x^{1 + 3} - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.4.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 x^{4} - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - (3 (x \cdot x)) \cdot 2 - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - (3 x^{2}) \cdot 2 - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.7

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 3 x^{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.8

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 6 x^{2} - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.9

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 6 x^{2} - 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.10

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.2

$3 x^{4}$ 에서 $2 x^{4}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{4} - 3 - 6 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 5.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

단계 5.5.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

단계 5.5.3

$(x + 1) (x - 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$