미적분 예제

$\frac{21 \sqrt[3]{x}}{x^{2} - 8}$

단계 1

$f (x) = 21 \sqrt[3]{x}$ , $g (x) = x^{2} - 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [21 \sqrt[3]{x}] - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [21 x^{\frac{1}{3}}] - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 2.2

$21$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $21 x^{\frac{1}{3}}$ 의 미분은 $21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 2.3

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 8

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 9

$21$ 와 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{21 x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{21}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 11

$21$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{3 \cdot 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 12

공약수로 약분합니다.

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단계 12.1

$3 x^{\frac{2}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{3 \cdot 7}{3 (x^{\frac{2}{3}})} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{3 \cdot 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 13

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 14

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 15

$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 16

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17

간단히 합니다.

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단계 17.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 17.2.1

$x^{\frac{2}{3}}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 17.2.1.1

$x^{2}$ 에서 $x^{\frac{2}{3}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.2.2

$x^{\frac{4}{3}}$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$\frac{7 \cdot x^{\frac{4}{3}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.2.3

$- 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

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단계 17.2.3.1

$- 8$ 와 $\frac{7}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 8 \cdot 7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.2.3.2

$- 8$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 56}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.2.5

$- 1$ 에 $21$ 을 곱합니다.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.2.6

$2$ 에 $- 21$ 을 곱합니다.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 \sqrt[3]{x} x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.3

항을 묶습니다.

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단계 17.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{1}{3}} x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.3.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 (x^{1} x^{\frac{1}{3}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{1 + \frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.3.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{3 + 1}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.3.6

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{4}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.3.7

$7 x^{\frac{4}{3}}$ 에서 $42 x^{\frac{4}{3}}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 35 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 17.4.1

$- 35 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}$ 에서 $- 7$ 를 인수분해합니다.

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단계 17.4.1.1

$- 35 x^{\frac{4}{3}}$ 에서 $- 7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}}) - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.4.1.2

$- \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}$ 에서 $- 7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}}) - 7 (- \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.4.1.3

$- 7 (5 x^{\frac{4}{3}}) - 7 (- \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}}})$ 에서 $- 7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} - \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} - - \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.4.3

$- - \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

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단계 17.4.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} + 1 \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.4.3.2

$\frac{8}{x^{\frac{2}{3}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} + \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.4.4

공통 분모를 가지는 분수로 $5 x^{\frac{4}{3}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 7 (\frac{5 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.4.6

지수를 더하여 $x^{\frac{4}{3}}$ 에 $x^{\frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 17.4.6.1

$x^{\frac{2}{3}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 7 \frac{5 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}) + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.4.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.4.6.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{2 + 4}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.4.6.4

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{6}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.4.6.5

$6$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{- 7 \frac{5 x^{2} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.5

$- 7$ 와 $\frac{5 x^{2} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{- 7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.7

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

단계 17.8

$\frac{1}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$ 에 $\frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2} x^{\frac{2}{3}}}$

단계 17.9

$- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2} x^{\frac{2}{3}}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 8)}^{2}}$