미적분 예제

$\frac{4 x}{x^{2} + 36}$

단계 1

$f (x) = 4 x$ , $g (x) = x^{2} + 36$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [4 x] - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 36) (4 \frac{d}{d x} [x]) - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 36) (4 \cdot 1) - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 2.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 2.4

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 36$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 2.6

$36$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $36$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $36$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 2.7

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} \cdot 4 + 36 \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot x^{2} + 36 \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 3.2.1.2

$36$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 3.2.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 3.2.1.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 3.2.1.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 3.2.1.5

$- 1 \cdot 4 \cdot 2$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1.5.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} + 144 - 4 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 3.2.1.5.2

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} + 144 - 8 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 3.2.2

$4 x^{2}$ 에서 $8 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 4 x^{2} + 144}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$- 4 x^{2} + 144$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.3.1.1

$- 4 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- x^{2}) + 144}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

$144$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 3.3.1.3

$4 (- x^{2}) + 4 (36)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 3.3.2

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 (- x^{2} + 6^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 3.3.3

$- x^{2}$ 와 $6^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{4 (6^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

단계 3.3.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 6$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{4 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$