미적분 예제

$\frac{8 x - 16}{x^{2}}$

단계 1

$f (x) = 8 x - 16$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [8 x - 16] - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 2

합의 법칙에 의해 $8 x - 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 3

$\frac{d}{d x} [8 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 3.3

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (8 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- 16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 16$ 입니다.

$\frac{x^{2} (8 + 0) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 4.2

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x - 16) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} \cdot 8 + (- (8 x) - - 16) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x) (2 x) - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 5.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.1

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$\frac{8 \cdot x^{2} - (8 x) (2 x) - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 5.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{8 x^{2} - (8 (x \cdot x)) \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 5.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{2} - (8 x^{2}) \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 5.3.1.3

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{2} - 8 x^{2} \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 5.3.1.4

$2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 5.3.1.5

$- 1$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 5.3.1.6

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 32 x}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 5.3.2

$8 x^{2}$ 에서 $16 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 5.4

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 5.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{x^{4}}$

단계 5.5

$- 8 x^{2} + 32 x$ 에서 $8 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.5.1

$- 8 x^{2}$ 에서 $8 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x (- x) + 32 x}{x^{4}}$

단계 5.5.2

$32 x$ 에서 $8 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x (- x) + 8 x (4)}{x^{4}}$

단계 5.5.3

$8 x (- x) + 8 x (4)$ 에서 $8 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x (- x + 4)}{x^{4}}$

단계 5.6

$x$ 및 $x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.1

$8 x (- x + 4)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x^{4}}$

단계 5.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.2.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x \cdot x^{3}}$

단계 5.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x \cdot x^{3}}$

단계 5.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{8 (- x + 4)}{x^{3}}$

단계 5.7

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- (x) + 4)}{x^{3}}$

단계 5.8

$4$ 을 $- 1 (- 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 4))}{x^{3}}$

단계 5.9

$- (x) - 1 (- 4)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- (x - 4))}{x^{3}}$

단계 5.10

$- (x - 4)$ 을 $- 1 (x - 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 (- 1 (x - 4))}{x^{3}}$

단계 5.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{8 (x - 4)}{x^{3}}$