미적분 예제

$y = (5 x^{2} - 1) (4 x + 3)$

단계 1

$f (x) = 5 x^{2} - 1$ , $g (x) = 4 x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 3] + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $4 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$(5 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(5 x^{2} - 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x^{2} - 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

단계 3.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(5 x^{2} - 1) (4 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$(5 x^{2} - 1) (4 + 0) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

단계 4.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

단계 4.3

합의 법칙에 의해 $5 x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 5

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 5.3

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 6

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + 0)$

단계 6.2

$10 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

단계 7.3

항을 묶습니다.

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단계 7.3.1

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$20 x^{2} - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

단계 7.3.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$20 x^{2} - 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

단계 7.3.3

$10$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$20 x^{2} - 4 + 40 x \cdot x + 3 (10 x)$

단계 7.3.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x) + 3 (10 x)$

단계 7.3.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x^{1}) + 3 (10 x)$

단계 7.3.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{1 + 1} + 3 (10 x)$

단계 7.3.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 3 (10 x)$

단계 7.3.8

$10$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 30 x$

단계 7.3.9

$20 x^{2}$ 를 $40 x^{2}$ 에 더합니다.

$60 x^{2} - 4 + 30 x$

단계 7.4

항을 다시 정렬합니다.

$60 x^{2} + 30 x - 4$