미적분 예제

$y = - x^{3} (3 x^{4} - 2)$

단계 1

$f (x) = - x^{3}$ , $g (x) = 3 x^{4} - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2] + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $3 x^{4} - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$- x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$- x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{3} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 3.3

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- x^{3} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$- x^{3} (12 x^{3} + 0) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 4.2

$12 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 4.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- (3 x^{2}))$

단계 4.5

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- 3 x^{2})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- x^{3} (12 x^{3}) + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

단계 5.2

항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 12 x^{3} x^{3} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

단계 5.2.2

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.2.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$- 12 (x^{3} x^{3}) + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

단계 5.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 12 x^{3 + 3} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

단계 5.2.2.3

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 12 x^{6} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

단계 5.2.3

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 12 x^{6} - 9 x^{4} x^{2} - 2 (- 3 x^{2})$

단계 5.2.4

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.4.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$- 12 x^{6} - 9 (x^{2} x^{4}) - 2 (- 3 x^{2})$

단계 5.2.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 12 x^{6} - 9 x^{2 + 4} - 2 (- 3 x^{2})$

단계 5.2.4.3

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} - 2 (- 3 x^{2})$

단계 5.2.5

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} + 6 x^{2}$

단계 5.2.6

$- 12 x^{6}$ 에서 $9 x^{6}$ 을 뺍니다.

$- 21 x^{6} + 6 x^{2}$