미적분 예제

$y = \frac{a}{2} \cdot (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}})$

단계 1

$f (x) = \frac{a}{2}$ , $g (x) = e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{a}{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}] + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]$ 가 됩니다.

$\frac{a}{2} (\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{x}{a}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{x}{a}$ 로 바꿉니다.

$\frac{a}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{a}{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{x}{a}$ 로 바꿉니다.

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 3.2

$\frac{1}{a}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{a}$ 의 미분은 $\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} (\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 3.4

$\frac{1}{a}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} \frac{1}{a} + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 3.5

$e^{\frac{x}{a}}$ 와 $\frac{1}{a}$ 을 묶습니다.

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{d}{d x} [- e^{- \frac{x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 4.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{- \frac{x}{a}}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{a}}]$ 입니다.

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 4.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - \frac{x}{a}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- \frac{x}{a}$ 로 바꿉니다.

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{a}])) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 4.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{a}])) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 4.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $- \frac{x}{a}$ 로 바꿉니다.

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{a}])) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 4.4

$- \frac{1}{a}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x}{a}$ 의 미분은 $- \frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} (- \frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]))) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} (- \frac{1}{a} \cdot 1))) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 4.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} (- \frac{1}{a}))) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 4.7

$e^{- \frac{x}{a}}$ 와 $\frac{1}{a}$ 을 묶습니다.

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - - \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 4.8

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + 1 \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 4.9

$\frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

단계 5

$\frac{a}{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{a}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{a}{2}$ 입니다.

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \cdot 0$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{a}{2} \cdot \frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \cdot 0$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{a}{2} \cdot \frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

단계 6.3

항을 묶습니다.

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단계 6.3.1

$\frac{a}{2}$ 에 $\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a}$ 을 곱합니다.

$\frac{a e^{\frac{x}{a}}}{2 a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

단계 6.3.2

$a$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{a e^{\frac{x}{a}}}{2 a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

단계 6.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

단계 6.3.3

$\frac{a}{2}$ 에 $\frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{a e^{- \frac{x}{a}}}{2 a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

단계 6.3.4

$a$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{a e^{- \frac{x}{a}}}{2 a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

단계 6.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

단계 6.3.5

$e^{\frac{x}{a}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

단계 6.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 - e^{- \frac{x}{a}} \cdot 0$

단계 6.3.7

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 + 0 e^{- \frac{x}{a}}$

단계 6.3.8

$0$ 에 $e^{- \frac{x}{a}}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 + 0$

단계 6.3.9

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0$

단계 6.3.10

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2}$