미적분 예제

$y = {(5 x - 3)}^{4} {(6 x + 7)}^{2}$

단계 1

$f (x) = {(5 x - 3)}^{4}$ , $g (x) = {(6 x + 7)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 7)}^{2}] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 2

${(6 x + 7)}^{2}$ 을 $(6 x + 7) (6 x + 7)$ 로 바꿔 씁니다.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [(6 x + 7) (6 x + 7)] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 3

FOIL 계산법을 이용하여 $(6 x + 7) (6 x + 7)$ 를 전개합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x (6 x + 7) + 7 (6 x + 7)] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x + 7)] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 4.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 4.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x^{2} + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 4.1.3

$6$ 에 $6$ 을 곱합니다.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 4.1.4

$7$ 에 $6$ 을 곱합니다.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 42 x + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 4.1.5

$6$ 에 $7$ 을 곱합니다.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 42 x + 42 x + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 4.1.6

$7$ 에 $7$ 을 곱합니다.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 42 x + 42 x + 49] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 4.2

$42 x$ 를 $42 x$ 에 더합니다.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 84 x + 49] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $36 x^{2} + 84 x + 49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]$ 가 됩니다.

${(5 x - 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 5.2

$36$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $36 x^{2}$ 의 미분은 $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

${(5 x - 3)}^{4} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 5.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(5 x - 3)}^{4} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 5.4

$2$ 에 $36$ 을 곱합니다.

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 5.5

$84$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $84 x$ 의 미분은 $84 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 5.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 5.7

$84$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 5.8

$49$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $49$ 입니다.

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 + 0) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 5.9

$72 x + 84$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

단계 6

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 5 x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x - 3$ 로 바꿉니다.

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x - 3])$

단계 6.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 3])$

단계 6.3

$u$ 를 모두 $5 x - 3$ 로 바꿉니다.

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 3])$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

합의 법칙에 의해 $5 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

단계 7.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

단계 7.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

단계 7.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

단계 7.5

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 + 0))$

단계 7.6

식을 간단히 합니다.

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단계 7.6.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} \cdot 5)$

단계 7.6.2

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (20 {(5 x - 3)}^{3})$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

${(6 x + 7)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $20$ 이동하기

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + 20 \cdot {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$

단계 8.2

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + 20 {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$ 에서 ${(5 x - 3)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.2.1

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84)$ 에서 ${(5 x - 3)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84)) + 20 {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$

단계 8.2.2

$20 {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$ 에서 ${(5 x - 3)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84)) + {(5 x - 3)}^{3} (20 {(6 x + 7)}^{2})$

단계 8.2.3

${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84)) + {(5 x - 3)}^{3} (20 {(6 x + 7)}^{2})$ 에서 ${(5 x - 3)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84) + 20 {(6 x + 7)}^{2})$