미적분 예제

$\frac{18 t}{t^{2} + 81}$

단계 1

$f (t) = 18 t$ , $g (t) = t^{2} + 81$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(t^{2} + 81) \frac{d}{d t} [18 t] - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$18$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $18 t$ 의 미분은 $18 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{(t^{2} + 81) (18 \frac{d}{d t} [t]) - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(t^{2} + 81) (18 \cdot 1) - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 2.3

$18$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 2.4

합의 법칙에 의해 $t^{2} + 81$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [81]$ 가 됩니다.

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [81])}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t + \frac{d}{d t} [81])}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 2.6

$81$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $81$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $81$ 입니다.

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 2.7

$2 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{t^{2} \cdot 18 + 81 \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$t^{2}$ 의 왼쪽으로 $18$ 이동하기

$\frac{18 \cdot t^{2} + 81 \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 3.2.1.2

$81$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 3.2.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 3.2.1.4

지수를 더하여 $t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.4.1

$t$ 를 옮깁니다.

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 (t \cdot t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 3.2.1.4.2

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 3.2.1.5

$- 1 \cdot 18 \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.5.1

$- 1$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 18 \cdot 2 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 3.2.1.5.2

$- 18$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 36 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 3.2.2

$18 t^{2}$ 에서 $36 t^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 18 t^{2} + 1458}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 18 t^{2} + 1458$ 에서 $18$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$- 18 t^{2}$ 에서 $18$ 를 인수분해합니다.

$\frac{18 (- t^{2}) + 1458}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

$1458$ 에서 $18$ 를 인수분해합니다.

$\frac{18 (- t^{2}) + 18 (81)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 3.3.1.3

$18 (- t^{2}) + 18 (81)$ 에서 $18$ 를 인수분해합니다.

$\frac{18 (- t^{2} + 81)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 3.3.2

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{18 (- t^{2} + 9^{2})}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 3.3.3

$- t^{2}$ 와 $9^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{18 (9^{2} - t^{2})}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

단계 3.3.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 9$ 이고 $b = t$ 입니다.

$\frac{18 (9 + t) (9 - t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$